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武汉理工大学考试试题纸(a卷)(闭卷)2

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1、1武汉理工大学考试试题纸（A 卷）（闭卷）课程名称概率统计专业班级题号一二三四五六七八九十总分题分备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)1填空题（15 分）（1）设随机事件 , 互不相容，且，，则 AB3.0)(AP6.0)(B)(ABP（2）设随机变量服从（-2，）上的均匀分布，则随机变量的X 2XY概率密度函数为 .)(yfY（3）设随机变量和的期望分别为和 2，方差分别为 1 和 4，，0.5XY由切比雪夫不等式， (6)_PX（4）设某种清漆干燥时间（单位：小时），取容量为 n 的样本,其,2N样本均值和方差分别为，则的置信度为 1- 的单侧置信上限为：.S（5）设为取自总体的样本，参数均未知，),(21nXL),(2X2,，，则对于假设作检验时，使用niiX121(Zii 00：Ht的检验统计量（用与等表示）. T XZ2 （10 分）设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中 1/2 是第一家工厂生产的，其余两家各生产 1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有 2%、4% 、

2、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。3. （10 分）设随机变量的概率分布为，以表示对的三次独立重复观察中事件XfxAx()，其它01YX出现的次数，试确定常数，并求概率。X12APY224. （15 分）设二维随机变量（，）的概率分布为XY其它,0),(yxeyxfy求：（1）随机变量 X 的密度函数；（2）概率。)(fX 1YXP5. （10 分）已知随机变量、分别服从正态分布和，且与的相关系数Y)3,0(2N)4,(2XY，设，求：（1）数学期望，方差；（2）与的相关系数。XY2/Z/3EZDZXZ6. （10 分）证明：（马尔科夫定理）如果随机变量序列，满足L,21nX0)(lim12nkn则对任给，有0.1)(1li 1nknkn XEP7. （15 分）设，是取自总体的简单随机样本，为样本均值，为样本二阶),(2NXnX,21L 2nS中心矩，为样本方差，问下列统计量：（1），（2），（3）各服从什么分2SnS1/nX21)(

3、niiX布？8 （15 分）设总体服从区间0，上的均匀分布， 0 未知，是来自的样本,（1）求X12,nK的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（ 3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？3答案 1 （15 分）（1）4/7；（ 2） ;（3） (4)上限为104()4Yyf其他 12; ()SXtn（5） )1(Z2 （10 分）解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第AiA家工厂生产的 ”（）。则，且，ii23，， 123UPAi()0两两互不相容，A123、、（1）由全概率公式得 31)|()(i iiPP4050412（2）由贝叶斯公式得 = PA(|)1311)|()j jjAP134023. （10 分）解：由归一性 2)(10xdf所以 =2。即 A 其它，，01)(xf42)()21(1dxfFXP所以，从而 =)413(，BY YP693)(C4. （15 分）解：（1）时， =0；时， =x0fxX()x0fxX()fxydeyx(,)故随机变量

4、的密度函数 = XfxX()exx，0（2） PY1fydedyxXY(,)1021 e11245. （10 分）解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得EZ 12031)2(3)2( YEXYDDXY()Cov，DYXY21321332413)(4（2） CovovCovov()( ,)(,)XZXYXY，，1320DD从而有与的相关系数 XZXZov(,)6. （10 分）证明：，由切贝雪)(1)(),1)( 211 nknknkknk XEE夫不等式，得，2111)()(limnDXEnPnkknkn 根据题设条件，当时, ，)(li 11nkkn但概率小于等于 1，故马尔科夫定理成立.7. （15 分）解：（1）由于，又有)()(22nS122 1)(nXnSii，因此；22)(n)(2S（2）由于，又有，因此)1(/ntSX1nS5；)1(/ntSXn（3）由得：，由分),21)(,iNXi L ),21)(,0niNi L2布的定义得： .)()(221nnii8 （15 分）解：（1），令，得的矩估计量；EX212X似然函数为： 1212,0,(,;)nnnxLxKK，其它其为的单调递减函数，因此的极大似然估计为。212()ma,nXX（2）因为，所以为的无偏估计量。12EX1又因为的概率密度函数为：()n1() ,0nnxxf 其它所以1()0nnxEXd因此为的有偏估计量，而为的无偏估计量。23()nX（3），221/143D23()21202211()()3nnXxdDn 于是比更有效。3()1nX1

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