集合的概念与表示法
81页1、2018/2/23,第3章 集合,3.1 集合的概念与表示法3.2 集合的运算与性质 3.3 集合的划分与覆盖 3.4 排列与组合3.5 归纳原理3.6 容斥原理和抽屉原理3.7 递推关系3.8 集合论在命题逻辑中的应用,2018/2/23,3.1 集合的概念与表示法,3.1.1 集合的概念 集合作为数学的一个基本而又简单的原始概念,是不能精确定义的。一般我们把一些确定的互不相同的对象的全体称为集合,集合中的对象称为集合的元素。通常用大写字母(如A、B等)表示集合,用小写字母(如a、b)表示集合中的元素。给定一个集合A和一个元素a,可以判定a是否在集合A中。如果a在A中,我们称a属于A,记为aA。否则,称a不属于A,记为aA。 例如,某大学计算机系的全体学生、所有自然数等都是集合。,2018/2/23,由集合的概念可知,集合中的元素具有确定性、互异性、无序性和抽象性的特征。其中:(1)确定性是指:一旦给定了集合A,对于任意元素a,我们就可以准确地判定a是否在A中,这是明确的。(2)互异性是指:集合中的元素之间是彼此不同的。即集合a,b,b,c与集合a,b,c是一样的。(3)无序性是指:
2、集合中的元素之间没有次序关系。即集合a,b,c与集合c,b,a是一样的。(4)抽象性是指:集合中的元素是抽象的,甚至可以是集合。如A1,2,1,2,其中1,2是集合A的元素。,2018/2/23,集合是多种多样的,我们可以根据集合中元素的个数对其进行分类。集合中元素的个数称为集合的基数,记为|A|。当|A|有限时,称A为有限集合;否则,称A为无限集合。下面将本书中常用的集合符号列举如下:N:表示全体自然数组成的集合。Z:表示全体整数组成的集合。Q:表示全体有理数组成的集合。R:表示全体实数组成的集合。Zm:表示模m同余关系所有剩余类组成的集合。,2018/2/23,3.1.2 集合的表示法 表示一个集合通常有两种方法:列举法和谓词表示法。 1. 列举法(或枚举法) 列举法就是将集合的元素全部写在花括号内,元素之间用逗号分开。例如:Aa,b,c,B0,1,2,3,。 列举法一般用于有限集合和有规律的无限集合。 2. 谓词表示法(或描述法) 谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性。通常用x|p(x)来表示具有性质p的一些对象组成的集合。例如:x|1x6x为整数为由1、2、3、4、5、6组
3、成的集合。 下面讨论集合之间的关系。,2018/2/23,3.1.3 集合的包含与相等 包含与相等是集合间的两种基本关系,也是集合论中的两个基本概念。两个集合相等是按照下述原理定义的。外延性原理 两个集合A和B是相等的,当且仅当它们有相同的元素。记为AB。例如,若A2,3,B小于4的素数,则AB。定义3.1 设A和B为两个集合,若对于任意的aA必有aB,则称A是B的子集,也称A包含于B或B包含A,记作AB。如果B不包含A,记作AB。B包含A的符号化表示为:ABx(xAxB)。例如,若A1,2,3,4,B1,2,C2,3,则BA且CA,但CB。,2018/2/23,定理3.1 集合A和B相等当且仅当这两个集合互为子集。即:ABABBA。证明 若AB,则A和B具有相同的元素,于是x(xAxB)、x(xBxA)都为真,即AB且BA。反之,若AB且BA,假设AB,则A与B元素不完全相同。不妨设有某个元素xA但xB,这与AB矛盾,所以AB。这个定理非常重要,是证明两个集合相等的基本思路和依据。,2018/2/23,定理3.2 设A、B和C是三个集合,则:(1)AA。(2)ABBCAC。证明 (1
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