一维随机变量及其分布

1、1,在第一章中，我们用集合论的方法来表示随机试验的结果，并且利用初等数学的手段研究了一些简单的概率模型。用这些方法和手段来讨论随机现象有很大的局限性。本章我们将用实数来表示随机试验的各种结果，即通过引入随机变量的概念将随机试验的结果数值化。这样，不仅可以更全面地揭示随机现象的统计规律，而且可以使用数学分析的方法来讨论随机试验。,第二章 随机变量及其分布,2,二、分布函数的概念,一、随机变量的概念,三、例题讲解,第2.1节 随机变量及其分布,3,一、随机变量,例1 掷一枚骰子，观察其点数。,样本空间=1，2，3，4，5，6,例2 记录某交换台早上8点到9点接到的呼叫次数,样本空间=0，1，2，3，,例3 抛一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况:,样本空间=H, T,以上例子中，样本空间的类型各不相同，例1，2是数值型的，例3是代码型的。但是我们可以通过引入定义在样本空间上的函数，使它数值化。,4,例3引入一个定义在上的函数 X :,由于试验结果的出现是随机的,因此X()的取值也是随机的,例1，令X=X(i)=i(i=1,2,6),则X就可以表示实验结果,例2，令Y=Y(i)=i(i=0

2、,1,2,),则Y就可以表示实验结果,5,例4 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品(b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:,以X表示抽取的两件产品中包含的次品个数,则X是定义在上的一个函数,样本空间为:,即 X=X(),=a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1, a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b3,6,具体写出这个函数如下:,X取什么值依赖于试验结果,即X的取值带有随机性,7,R,设E是随机试验,是其样本空间,如果对每个,总有唯一的一个实数X()与之对应, 则称X()为定义在上的一个随机变量,定义:,随机变量常用X、Y 或、等表示,X(),8,此映射具有如下特点,9,定义了随机变量后,就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件,在例4中,事件“取出的两件产品中没有 次品”,用X=0表示,且概率为: PX=0=0.3,事件“取出的两件产品中至少有一件次 品”,用X1表示,且概率为: PX1=0.7,10,如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布函数F(x)的值就表示X落在区间(-, x的概率.,二、分布函数的概念,11,由定义，对任意实数

3、 x1x2，随机点落在区间（ x1 , x2 的概率为：,P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1),因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.,12,说明,(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.,(2) 分布函数是一个函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究 随机变量.,13,证明,2.分布函数的性质,(单调不减性),14,即任一分布函数处处右连续.,反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量 X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(4)是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件.,15,16,重要公式,证明,17,例2 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量 X 的分布函数.,解,18,于是,故 X 的分布函数为,其图形为一连续曲线,19,一、离散型随机变量的分布律,二、常见离散型随机变量的概率分布,2.2 离散型随机变量及其分布律,20,1.随机变量的分

4、类,离散型,(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或无限多个(可列个), 叫做离散型随机变量.,观察掷一个骰子出现的点数.,随机变量 X 的可能值是 :,随机变量,连续型,实例1,1, 2, 3, 4, 5, 6.,非离散型,其它,21,实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:,实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标的次数”,则 X 的所有可能取值为:,22,实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测误差”.,则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.,实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.,(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.,则 X 的取值范围为,23,说明,一、离散型随机变量的分布律,定义,24,离散型随机变量的分布律也可表示为,或,25,F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度 pk .,其中 .,26,例1 设袋中有3个红球,2个绿球,连

5、续不返回地从袋中取球, 直到取到红球为止.设此时取出了X个绿球.试求:,(1) X的分布律,(2) X的分布函数 F(x),(3),27,解:,(1),X可能的取值为0, 1, 2,且,故X的分布律为:,28,(2),当x0时,Xx为不可能事件,得: F(x)=PXx=0,当0x1时,得: F(x)=PXx=PX=0=0.6,Xx=X=0,x,0,1,2,X,x,0,1,2,X,29,当1x2时,又X=0与X=1互不相容,得: F(x)=PXx=PX=0+PX=1 =0.6+0.3=0.9,Xx=X=0X=1,x,0,1,2,X,当x2时,Xx为必然事件,x,0,1,2,X,30,0.9,0 1 2 x,得: F(x)=PXx=1,注: 左闭右开,1,0.6,31,(3),=0.3+F(2) F(1),=0.3+10.9=0.4,P(1X2)=P(X=11X2),=P(X=1)+P(1X2),32,二、常见离散型随机变量的概率分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,2.两点分布,1.退化分布,若随机变量X取常数值C的概率为1,即,则称X服从退化分布.,33,实例1

6、 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从 (0-1) 分布.,则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为Xb(1,p),34,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,35,3.均匀分布,如果随机变量 X 的分布律为,实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,36,4.二项分布,若X的分布律为：,称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为,其中q1p,37,分析,这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.,例2,38,解,39,图示概率分布,40,二项分布中最可能出现次数的定义与推导,则称 为最可能出现的次数,41,当( n + 1) p 整数时, 在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值,42,例3 独立射击5000次, 命中率为0.001,解 (1) k = ( n + 1)p ,= ( 5000+ 1)0.001 =5,求 (1) 最可能命中次数及相应的概率

7、；,(2) 命中次数不少于1 次的概率.,43,(2) 令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001),44,泊松定理,45,证,记,46,解 令X 表示命中次数, 则,令,此结果也可直接查 附表2 泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万分之一.,利用Poisson定理再求例3 (2),X B( 5000,0.001 ),47,5. 泊松分布,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数、交通事故次数、商场接待的顾客数等, 都服从泊松分布.,48,上面我们提到,49,设6000 辆车通过,出事故的次数为 X , 则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例4 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0. 001,在每天的该段时间内有6000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,50,1 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工

8、作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,解,合理配备维修工人问题,51,由泊松定理得,故有,即,52,2 (人寿保险问题)在保险公司里 有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取2000元.问 (1)保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少?,保险公司在1月1日的收入是 250012=30000元,解 设X表示这一年内的死亡人数,则,53,保险公司这一年里付出2000X元.假定 2000X30000,即X 15人时公司亏本.,于是,P公司亏本=P X 15=1-PX 14,由泊松定理得,P公司亏本,(2) 获利不少于一万元,即 30000 -2000X 10000,即X10,P获利不少于一万元=PX10,54,6. 几何分布,若随机变量 X 的分布律为,则称 X 服从几何分布.,实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数目 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.,55,所以 X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.,解,56,离散型随机变量的分布,两点分布,均匀分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,三、小结,退化分布,57,58,

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