第14章 线性动态电路的复频率分析
80页1、第14章 线性动态电路的复频域分析,重点,(1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤,(3) 网络函数的概念(4) 网络函数的极点和零点,返 回,拉氏变换法是一种数学积分变换,其核心是把时间函数f (t)与复变函数F(s)联系起来,把时域问题通过数学变换为复频域问题,把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法,又称运算法。,14.1 拉普拉斯变换的定义,1. 拉氏变换法,下 页,上 页,返 回,拉普拉斯, Pierre Simon Laplace(1749 1827),巴黎军事学院数学教授。1779 年在发表题为“On What Follows ”(下一步是什么)的论文中提出了两种函数之间的双向唯一关系,并用以求解微分方程。然而拉普拉斯变换在应用中的真正价值,在其后一个多世纪中一直未被人们认识。 20 世纪 20 年代,英国电气工程师赫维赛德( Oliver Heaviside )( 1850 1925 )提出的解决电路瞬态计算的运算微积分(运算术),行之有效而缺乏严格的证明,赫维赛德
2、对此并不以为然,说他是否因为不完全了解消化过程而拒绝进餐。很多工程师和数学家致力于解决这一问题,终于发现拉普拉斯提出的一些积分恰好能为运算微积分提供严密的基础,形成 20 世纪 30 年代中期出现的拉普拉斯变换法。,下 页,上 页,返 回,例,一些常用的变换,对数变换,乘法运算变换为加法运算,相量法,时域的正弦运算变换为复数运算,拉氏变换,下 页,上 页,返 回,2. 拉氏变换的定义,定义 0 , )区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式:,正变换,反变换,下 页,上 页,返 回,积分域,注意,今后讨论的均为0 拉氏变换。,0 ,0区间 f(t) =(t)时此项 0,象函数F(s) 存在的条件:,下 页,上 页,返 回,如果存在有限常数M和 c 使函数 f (t) 满足:,则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在,因为总可以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。,下 页,上 页,象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s),U(s),原函数f (t) 用小写字母表示,如 i(t), u(t),返 回,3.典型函数的拉氏变换,(1)单位阶跃函数的象函数,下 页,上 页,返 回,(3)指数函数的象
3、函数,(2)单位冲激函数的象函数,下 页,上 页,返 回,14.2 拉普拉斯变换的基本性质,1.线性性质,下 页,上 页,证,返 回,例1,解,例2,解,根据拉氏变换的线性性质,求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时,可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。,下 页,上 页,结论,返 回,2. 微分性质,下 页,上 页,证,若足够大,返 回,例,解,下 页,上 页,利用导数性质求下列函数的象函数,返 回,推广:,解,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,3.积分性质,证,应用微分性质,返 回,下 页,上 页,例,解,返 回,4.延迟性质,下 页,上 页,证,返 回,例1,例2,求矩形脉冲的象函数,解,根据延迟性质,求三角波的象函数,解,下 页,上 页,返 回,求周期函数的拉氏变换,设f1(t)为一个周期的函数,例3,解,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,对于本题脉冲序列,5.拉普拉斯的卷积定理,返 回,下 页,上 页,证,返 回,14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开,用拉氏变换求解线性电路的时域响应时,需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方
4、法:,(1)利用公式,(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数,下 页,上 页,(3)把F(s)分解为简单项的组合,部分分式展开法,返 回,利用部分分式可将F(s)分解为:,下 页,上 页,象函数的一般形式,待定常数,讨论,返 回,待定常数的确定:,方法1,下 页,上 页,方法2,求极限的方法,令s = p1,返 回,下 页,上 页,例,解法1,返 回,解法2,下 页,上 页,原函数的一般形式,返 回,下 页,上 页,K1、K2也是一对共轭复数,注意,返 回,下 页,上 页,返 回,例,解,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,例,解,下 页,上 页,返 回, n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和,由F(s)求f(t) 的步骤:,求真分式分母的根,将真分式展开成部分分式,求各部分分式的系数,对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换,下 页,上 页,小结,返 回,例,解,下 页,上 页,返 回,14.4 运算电路,基尔霍夫定律的时域表示:,1.基尔霍夫定律的运算形式,下 页,上 页,根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式,对任一结点,对任一回路,返 回
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