《数学模型》(第四版)第二章初等模型
69页1、第二章 初等模型,2.1 光盘的数据容量2.2 双层玻璃窗的功效2.3 划艇比赛的成绩2.4 实物交换2.5 污水均流池的设计2.6 交通流与道路通行能力2.7 核军备竞赛2.8 扬帆远航2.9 天气预报的评价,研究对象的机理比较简单,用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的,可以利用初等数学方法来构造和求解模型,尽量采用简单的数学工具来建模,如果用初等和高等的方法建立的模型,其应用效果差不多,那么初等模型更高明,也更受欢迎.,初 等 模 型,2.1 光盘的数据容量,背景和问题,20世纪80年代出现激光唱片(CD)与激光视盘(LD), 统称光盘,用于储存数字声频、视频信号和计算机数据等.,20世纪90年代出现数字视频光盘(DVD).,21世纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体, 带动了出版、广播、通信、互联网等行业的发展.,CD的数据容量: 单层650MB(兆字节)DVD的数据容量: 单层4.7GB(千兆字节),从数学建模的角度研究 : 光盘的数据容量是怎么确定的,在一定条件下怎样使其最大化.,调查和分析,经过编码的数字信息,以一定深度和宽度、不同长度的凹坑的形式,用烧蚀技术存储
2、在光盘表面呈螺旋线形状的信道上.,当盘片上环形区域面积一定时,数据容量的大小取决于信道的总长度与信道上存储数据的线密度.,决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用激光的波长,和驱动光盘的机械形式.,调查和分析,当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑所携带的信息,必须精确地聚焦.,数据容量,激光波长 驱动形式,信道长度 线密度,激光波长,光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑.,为了提高存储数据的线密度,应该使光斑尽量小,而光斑的大小与激光波长成正比.,调查和分析,恒定角速度(CAV),驱动光盘的机械形式,每一圈螺旋线上存储同等数量的数据信息,容量取决于最内圈的长度、线密度以及总圈数,各圈螺旋线上数据的线密度不变,容量取决于固定的线密度和螺旋线总长度,恒定线速度(CLV ),从光盘的容量比较,CLV优于CAV.,数据读取时间: CLV每圈转速不同,当读出磁头在内外圈移动时,需要等待光盘加速或减速,而CAV不需要.,对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息,多用CLV;对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息,多用CAV.,模型建立,CLV(恒定线速度)光盘,R1光盘环形区域内圆半
3、径, R2 外圆半径, d 信道间距,LCLV 信道总长度,环形区域面积/信道间距,同心圆平均周长*总圈数,数据容量,线密度,(n总圈数),其他方法建模,模型建立,CAV(恒定角速度)光盘,螺旋线最内圈的长度近似为2R1, 总圈数可视为,数据容量,LCLV 信道总长度,线密度,当线密度、信道间距d和外径R2给定后, 可选择环形区域的内圆半径R1,使数据容量最大 .,模型求解,CLV(恒定线速度)光盘,R2=58 mm , R1=22.5 mm,CD信道长度在5km以上,容量约680 MB; DVD容量在GB量级.,影像时间按照每秒钟占用0.62 MB计算 .,模型求解,CAV(恒定角速度)光盘,即使在内圆半径的最佳选择下,CAV光盘的信息容量也小于CLV光盘 .,问题,双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比,减少多少热量损失.,假设,热量传播只有传导,没有对流.,T1,T2不变,热传导过程处于稳态.,材料均匀,热传导系数为常数.,建模,热传导定律,Q 单位时间单位面积传导的热量,T温差, d材料厚度, k热传导系数,2.2 双层玻璃窗的功效,单层,Ta,Tb,记双层玻璃窗传导的热量Q1
4、,Ta内层玻璃的外侧温度,Tb外层玻璃的内侧温度,建模,记单层玻璃窗传导的热量Q2,双层与单层窗传导的热量之比,k1=48 10-3 (J/cmskwh), k2=2.510-4, k1/k2=16 32,对Q1比Q2的减少量作最保守的估计,,取k1/k2 =16,建模,模型应用,取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03,即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比,可减少97%的热量损失.,结果分析,Q1/Q2所以如此小,是由于层间空气的热传导系数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.,房间通过天花板、墙壁、损失的热量更多.,实际上双层窗的功效不会如此之大!,2.3 划艇比赛的成绩,对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人) 4次国际大赛冠军的成绩进行比较,发现与桨手数有某种关系. 试建立数学模型揭示这种关系.,问题,准备,调查赛艇的尺寸和质量,问题分析,前进阻力 浸没部分与水的摩擦力,前进动力 桨手的划桨功率,分析赛艇速度与桨手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:,对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定.,运用合适的物理定律建立模型.,模型假设,1)艇形状相同
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