《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2精要课件 利用导数研究函数的极值(一)

1、1.3.2（一） 1 . 3 . 2 利用导数研究函数的极值 ( 一 ) 【学习要求】 1 了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用 . 2. 掌握函数极值的判定及求法 . 3. 掌握函数在某一点取得极值的条件 【学法指导】 函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质函数极值可以在函数图象上 “ 眼见为实 ” ，通过研究极值初步体会函数的导数的作用 . 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 填一填 知识要点、记下疑难点 1.3.2（一） 1 极值的概念 已知函数 y f ( x ) ，设 x0是定义域 ( a ， b ) 内任一点，如果对 x0附近的所有点 x ，都有 ，则称函数 f ( x )在点 x0处取 ，记作 y 极大 f ( x0) ，并把 x0称为函数 f ( x ) 的一个 如果都有 ，则称函数 f ( x ) 在点 x0处取 ，记作 y 极小 f ( x0) ，并把x0称为函数 f ( x ) 的一个 极大值与极小值统称为 极大值点与极小值点统称为 f(x ) f(x 0 ) 极小值 极小值点 极值 极值点 本课时栏目开关 填一

2、填 研一研 练一练 填一填 知识要点、记下疑难点 1.3.2（一） 2 求可导函数 f ( x ) 的极值的方法 ( 1) 求导数 f ( x ) ； ( 2) 求方程 的所有实数根； ( 3) 对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数 f ( x ) 的符号如何变化 如果 f ( x ) 的符号由正变负，则 f ( x0) 是极 值 如果 f ( x ) 的符号由负变正，则 f ( x0) 是极 值 如果在 f ( x ) 0 的根 x x0的左右两侧符号不变，则f ( x0) . f (x ) 0 大 小 不是极值 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一） 探究点一 函数的极值与导数的关系 问题 1 如图观察，函数 y f ( x ) 在 d 、 e 、 f 、 g 、 h 、 i 等点处的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系？ y f ( x ) 在这些点处 的导数值是多少？在这些点附近， y f ( x ) 的导数的符号有什么规律？ 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一）

3、答 以 d 、 e 两点为例，函数 y f ( x ) 在点 x d 处的函数值 f ( d ) 比它在点 x d 附近其他点的函数值都小， f ( d ) 0 ；在 x d 的附近的左侧 f ( x ) 0 ，右侧 f ( x ) 0 时均有 f ( x ) 0 ，所以 x 0 不是函数 f ( x ) x 3 的极值点 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一） 例 1 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值 解 f ( x ) 3 x 2 6 x 9. 解方程 3 x 2 6 x 9 0 ，得 x 1 1 ， x 2 3. 当 x 变化时， f ( x ) ， f ( x ) 变化状态如下表： 由表可知：当 x 1 时， f ( x ) 有极大值 f ( 1) 10. 当 x 3 时， f ( x ) 有极小值 f ( 3) 22. 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一） 小结 求可导函数 f ( x ) 的极值的步骤 ( 1) 确定函数的定义区间，求导数 f (

4、x ) ； ( 2) 求方程 f ( x ) 0 的根； ( 3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格检测 f ( x ) 在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么 f ( x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f ( x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f ( x ) 在这个根处无极值 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一） 跟踪训练 1 求函数 f ( x ) 3x 3l n x 的极值 解 函数 f ( x ) 3x 3ln x 的定义域为 (0 ， ) ， f ( x ) 3x 2 3x 3 x 1 x 2 . 令 f ( x ) 0 ，得 x 1. 当 x 变化时， f ( x ) 与 f ( x ) 的变化状态如下表： 因 此当 x 1 时， f ( x ) 有极小值 f ( 1) 3. 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一） 探究点二 利用函数极值确定参数的值 问题 已知函数的极值，如何确定函数解析

5、式中的参数？ 答 解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一） 例 2 已知 f ( x ) x 3 3 ax 2 bx a 2 在 x 1 时有极值0 ，求常数 a ， b 的值 解 因为 f ( x ) 在 x 1 时有极值 0 ， 且 f ( x ) 3 x 2 6 ax b ，所以 f 1 0 ，f 1 0 ，即 3 6 a b 0 ， 1 3 a b a 2 0. 解之得 a 1 ，b 3 或 a 2 ，b 9. 当 a 1 ， b 3 时， f ( x ) 3 x2 6 x 3 3( x 1) 2 0 ， 所以 f ( x ) 在 R 上为增函数，无极值，故舍去 当 a 2 ， b 9 时， f ( x ) 3 x2 12 x 9 3( x 1) ( x 3) 当 x ( 3 ， 1) 时， f ( x

6、) 为减函数；当 x ( 1 ， )时， f ( x ) 为增函数， 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一） 所以 f ( x ) 在 x 1 时取得极小值，因此 a 2 ， b 9. 小结 ( 1) 利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解 ( 2) 因为 “ 导数值等于零 ” 不是 “ 此点为极值点 ” 的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一） 跟踪训练 2 设 x 1 与 x 2 是函数 f ( x ) a l n x bx2 x 的两个极值点 ( 1) 试确定常数 a 和 b 的值； ( 2) 判断 x 1 ， x 2 是函数 f ( x ) 的极大值点还是极小值点，并说明理由 解 ( 1) f ( x ) a ln x bx 2 x ， f ( x ) ax 2 bx 1. 由极值点的必要条件可知： f ( 1) f ( 2) 0 ， a 2 b 1 0 且 a2 4 b

7、 1 0 ， 解方程组得， a 23 ， b 16 . 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一） ( 2) 由 ( 1) 可知 f ( x ) 23 ln x 16 x2 x . f ( x ) 23 x 1 13 x 1 x 1 x 2 3 x . 当 x ( 0,1) 时， f ( x ) 0 ；当 x ( 1,2) 时， f ( x ) 0 ； 当 x (2 ， ) 时， f ( x ) 0 ； 所以 x 1 是函数 f ( x ) 的极小值点， x 2 是函数 f ( x ) 的极大值点 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一） 探究点三 函数极值的综合应用 例 3 设函数 f ( x ) x3 6 x 5 ， x R. ( 1) 求函数 f ( x ) 的单调区间和极值； ( 2) 若关于 x 的方程 f ( x ) a 有三个不同的实根，求实数 a 的取值范围 解 ( 1) f ( x ) 3 x 2 6 ，令 f ( x ) 0 ， 解得 x 1 2 ， x 2 2 . 因为当 x

8、 2 或 x 2 时， f ( x ) 0 ； 当 2 x 2 时 ， f ( x ) 0. 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ， 2 ) 和 ( 2 ， ) ； 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一） 单调递减区间为 ( 2 ， 2 ) 当 x 2 时， f ( x ) 有极大值 5 4 2 ； 当 x 2 时， f ( x ) 有极小值 5 4 2 . ( 2) 由 ( 1 ) 的分析知 y f ( x ) 的图象的大致形状及走向如图所示 所以，当 5 4 2 a 5 4 2 时， 直线 y a 与 y f ( x ) 的图象有三个不同的交点， 即方程 f ( x ) a 有三个不同的实根 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一） 小结 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与 x 轴的交点个数，从而判 断方程根的个数 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 研一研 问题探究、课堂更高效 1.3.2（一） 跟踪训练 3 若函数 f ( x ) 2 x 3 6 x k 在 R 上只有一个零点，求常数 k 的取值范围 解 f ( x ) 2 x 3

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