2017-2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质学案(含解析)新人教a版选修2-1
13页1、124.2抛物线的简单几何性质提出问题问题 1:抛物线有几个焦点?提示:一个焦点问题 2:有人说“抛物线是双曲线的一支” ,这句话对吗?提示:不对问题 3:抛物线 y22 px 有对称性吗?提示:有,关于 x 轴对称导入新知抛物线的简单几何性质类型y22 px(p0)y22 px(p0)x22 py(p0)x22 py(p0)图形范围x0,yRx0,yRxR,y0xR,y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 O(0,0)离心率 e1性质开口方向向右 向左 向上 向下化解疑难1抛物线只有一条对称轴,一个顶点,一个焦点,一条准线无对称中心,无渐近线标准方程只有一个参数,不同于椭圆、双曲线2 p 的几何意义:焦点到准线的距离它的大小,影响抛物线开口大小.2抛物线方程及其几何性质例 1已知 A, B 是抛物线 y22 px(p0)上不同的两点, O 为坐标原点,若|OA| OB|,且 AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点 F,求直线 AB 的方程解如图所示设 A(x0, y0),由题意可知 B(x0, y0),又 F 是 AOB 的垂心,(p2, 0)则 AF OB, kAFkOB1,即 1,y0x0 p
2、2 ( y0x0) y x0 ,20 (x0p2)又 y 2 px0,20 x02 p .p2 5p2因此直线 AB 的方程为 x .5p2类题通法根据抛物线的几何性质求抛物线的方程,一般利用待定系数法,先“定形” ,再“定量”但要注意充分运用抛物线定义,并结合图形,必要时还要进行分类讨论活学活用已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 l 过 F 且垂直于 x 轴, l 与抛物线交于 A, B 两点,O 为坐标原点,若 OAB 的面积等于 4,求此抛物线的标准方程解:由题意,可设抛物线方程为 y22 px(p0),则焦点 F ,直线 l: x ,(p2, 0) p2 A, B 两点坐标分别为 , ,(p2, p) (p2, p)| AB|2| p|. OAB 的面积为 4, 2|p|4,12 p2 p2 .23抛物线方程为 y24 x.2直线与抛物线的位置关系例 2若抛物线 y24 x 与直线 y x4 相交于不同的两点 A, B,求证: OA OB.证明:由Error!消去 y,得 x212 x160.直线 y x4 与抛物线相交于不同两点 A, B,可设 A(x1, y1), B
3、(x2, y2),则有 x1 x212, x1x216. x1x2 y1y2OA OB x1x2( x14)( x24) x1x2 x1x24( x1 x2)161616412160, ,即 OA OB.OA OB 类题通法将直线方程与抛物线方程联立,转化为一元二次方程,可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式 或者对向量数量积的限制条件,利用限制条件建立不等式或等式,利用根与系数的关系运算求解活学活用过点(3,2)的直线与抛物线 y24 x 只有一个公共点,求此直线方程解:显然,直线斜率 k 存在,设其方程为 y2 k(x3),由Error!消去 x,整理得 ky24 y812 k0.(1)当 k0 时,方程化为4 y80,即 y2,此时过(3,2)的直线方程为y2,满足条件(2)当 k0 时,方程应有两个相等实根由Error! 即Error!得 k 或 k1.13所以直线方程为 y2 (x3)或 y2( x3),13即 x3 y90 或 x y10.4故所求直线有三条,其方程分别为: y2, x3 y90, x y10.抛物线中的最值问题例 3在抛物线 y22 x 上求一点 P,
4、使 P 到直线 x y30 的距离最短,并求出距离的最小值解法一:设 P(x0, y0)是 y22 x 上任一点,则点 P 到直线 l 的距离d 203|x0 y0 3|2 ,| y0 1 2 5|22当 y01 时, dmin ,524 P .(12, 1)法二:设与抛物线相切且与直线 x y30 平行的直线方程为 x y m0,由Error!得 y22 y2 m0, (2) 242 m0, m .12平行直线的方程为 x y 0,12此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离,则 dmin132 ,此时点524P 的坐标为 .(12, 1)类题通法解决与抛物线有关的最值问题时,一方面注意从几何方面观察、分析,并利用抛物线的定义解决问题;另一方面,还要注意从代数角度入手,建立函数关系,利用函数知识求解总之,与抛物线有关的最值问题主要有两种方法:(1)定义法;(2)函数法活学活用5点 P 在抛物线 2y2 x 上,点 Q 在圆( x2) 2 y21 上,求| PQ|的最小值解:圆( x2) 2 y21 的圆心为 M(2,0),设 P(2y , y1),21则| PM|2(2 y 2
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