4动量和角动量习题思考题

1、习题 44-1如图所示的圆锥摆，绳长为 l，绳子一端固定，另一端系一质量为 m 的质点，以匀角速 绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为 。在质点旋转一周的过程中，试求：（1）质点所受合外力的冲量 ；Iv（2）质点所受张力 T 的冲量 。T解：（1）设周期为 ，因质点转动一周的过程中，速度没有变化， ，由 ，12vImv旋转一周的冲量 ；0I（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，且 ，张力 T 旋转一周的冲量：cosTmgIjjv所以拉力产生的冲量为 ，方向竖直向上。2g4-2一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度 。已知其中一4/vms力 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。Fv求：（1）力 在 1s 到 3s 间所做的功；（2）其他力在 1s 到 3s 间所做的功。解：（1）由于椭圆面积为 ，Sab椭 4025.6AabJ（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该 做的功为 125.6J 时，其他的力Fv的功为 125.6J。4-3质量为 的质点在 平面内运动，运动学方程为mOxy，求：cosinratbtjv（1）质点在任

2、一时刻的动量；（2）从 到 的时间内质点受到的冲量。0/2解：（1）根据动量的定义： ，而 ，PmvdrtsincosatbtjvvologT()FN201O23()ts ；()(sincos)Ptmatbtjvv（2）由 ，2)(00IPmbjv所以冲量为零。4-4质量为 M=2.0kg 的物体（不考虑体积） ，用一根长为 l=1.0m 的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为 m=20g 的子弹以 =600m/s 的水平速度射穿物体。刚0v射出物体时子弹的速度大小 =30m/s，设穿透时间极短。求：v（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得： 01vmMv 015.7vM/s根据圆周运动的规律： ，有：21Tgl；2184.6vTgNl（2）根据冲量定理可得： 。0.5701.4ImvNs4-5一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为 ，中微子的动量为 ，两动量方向彼/skg10.2 236.4kgm/此垂直。 （1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为，求其反冲动能。856

3、解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有：（1） 2221.0641P核 电 子 中 微 子.30/kgms又 ， ，.tan中 微 子电 子 08.所以 ， ；21.4/s核 o915（2）反冲的动能为： 。28.7kPEJ核 核4-6中子的发现者查德威克于 1932 年通过快中子与氢核、氮核的对心弹性碰撞P中 微 子 电 子核发现氢核的反冲速度为 ，氮核的反冲速度为 ，已知73.10/ms64.710/ms氢核的质量为 ，氮核的质量为 ，试推算中子的质量及其初速度。1u4u解：设快中子的质量为 ，氢核的质量为 ，氮核的质量为 ，MHN根据弹性碰撞的规律，可得： ，0Nvv，2220HNvm代入已知量，可得： 77703.16.5809.810uu214440.8992u那么， ，7736./.vms。7.140M4-7一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 ，子弹5401()3FtN从枪口射出时的速率为 。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：3/ms（1）子弹走完枪筒全长所用的时间 ；t（2）子弹在枪筒中所受力的冲量 ；I（3）子弹的质量。解：（1）由于离开枪口处合力刚好为零，有： ，

4、540103t得： ；30ts（2）由冲量定义： 有：0tIFd0.35520.341(41)6ItttNs（ ）（3）再由 ，有： 。 Imv.6/3kg4-8有质量为 的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为 。如果它在飞行2 cx到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为 。cx，而 ， ，12cmx12m12cx 。3,4ccx4-9两个质量分别为 和 的木块 ，用一劲度系数为 的轻弹簧连接，12BA、k放在光滑的水平面上。 紧靠墙。今用力推 块，使弹簧压缩 然后释放。0x（已知 ， ）求：（1）释放后 两滑块速度相等时的瞬时m132 、速度的大小；（2）弹簧的最大伸长量。解：分析题意，首先在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B 木块的动能，然后 B 带动 A 一起运动，此时动量守恒，两者具有相同的速度 v 时，弹簧伸长最大，由机械能守恒可算出其量值。（1） 22001vkxmv（ ）所以： ；200

5、1234m（2） 2102 vkxv）（那么计算可得： 04-10二质量相同的小球，一个静止，一个以速度 与另一个小球作对心碰撞，0v求碰撞后两球的速度。 （1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数 。5.0e解：（1）完全非弹性碰撞具有共同的速度： ， ；m2001v（2）完全弹性碰撞动量守恒，能量守恒：两球交换速度；0122mvvm120v（3）假设碰撞的恢复系数 ，按定义： ，5.e210vec/2cxyOo有： ，再利用 ，210.5v210mvv可求得： ， 。0142434-11如图，光滑斜面与水平面的夹角为 ，轻质弹簧上端固定今在弹o0簧的另一端轻轻地挂上质量为 的木块，木块沿斜面从静止开始向下1.Mkg滑动当木块向下滑 时，恰好有一质量 的子弹，沿水平30xcm.1mkg方向以速度 射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为2/vs。求子弹打入木块后它们的共同速度。5/kN解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：21sinvkxg(碰撞前木快的速度 )0.83/m再由沿斜面方向动量守恒

6、定律，可得：。1cosMMv（ ） 0.89/ms4-12 水平路面上有一质量 的无动力小车以匀速率 运动。15kg02/vs小车由不可伸长的轻绳与另一质量为 的车厢连接，车厢前端有一质2量为 的物体，物体与车厢间摩擦系数为 。开始时车厢静止，320mkg .绳未拉紧。求：(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需时间。(车与路面间摩擦不计，取 g =10m/s2) 解：（1）由三者碰撞，动量守恒，可得：，vvm）（ 3210 .0s再将 与 看成一个系统，由动量守恒有：，)(2101 smv3125021对 ，由功能原理有：32231123()mgsvmv（ ）；mg601232 ）（2）由 ，有： 。tv3 svt.2.4-13一质量为 千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑M水平面上，弹簧的劲度系数为 。一质量为 的子弹射入木块后，弹簧长度被k压缩了 。(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为 ，求子弹所受的平L s均阻力。 解：分析，碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后机械能守恒条件。（1）相碰后

7、，压缩前： ，vmv）（0压缩了 时，有：，2212kLvMm）（计算得到： ，）（ M0；vkm（ ）（2）设子弹射入木快所受的阻力为 ，阻力做功使子弹动能减小，木块动能增f加。 2222011Lfsvv- MkLm4-14质量为 、长为 的船浮在静止的水面上，船上有一质量为 的人，开l m始时人与船也相对静止，然后人以相对于船的速度 从船尾走到船头，当人走到u船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即 。求在整个过程中船的fkv位移 。x分析：将题中过程分三段讨论。（1）设船相对于静水的速度为 ，而人以相对于船的速度为 ，则人相对于()vt u静水的速度为 ，开始时人和船作为一个系统动量之和为零。由于水对船()uvt有阻力，当人从船尾走到船头时，系统动量之和等于阻力对船的冲量，有：，此时， 方向 方向相反，船有与人行进方向相1I()Mtm()vtu反的位移 ；1x（2）当人走到船头突然停下来，人和船在停下来前后动量守恒，有：， 为人停下来时船和人具有的共同速度，()()vtuvt方向应于原 方向相同；（3）人就站在船

8、头上，经长时间后，人与船又都静止下来，表明最后人和船作为一个系统动量之和又为零，则这个过程水阻力对船的冲量耗散了系统的动量，有：，船有与人行进方向相同的位移 。2()IMmv2x综上，系统在（1）和（3）两过程中动量的变化相同，水的阻力在（1）和（3）两过程中给系统的冲量也是相同的。解： ，利用 ，而： ，2I0tIFdvfkv有： ，得： ，120()()t tkvdk 1200ttd即： 。x4-15以初速度 0 将质量为 m 的质点以倾角 从坐标原点处抛出。设质点在Oxy 平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：（1）作用在质点上的力矩 ；Mv（2）质点的角动量 。L解：（1） 0cosrFgtkv（2） 20t vd4-16人造地球卫星近地点离地心 r1=2R， （R 为地球半径） ，远地点离地心r2=4R。求：（1）卫星在近地点及远地点处的速率 和 （用地球半径 R 以及地球表面附近v2的重力加速度 g 来表示） ；（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径 。解：（1）利用角动量守恒： ，得 ，12rm12v同时利用卫星的机械能守恒，这里，万有引力势能

9、表达式为： ，0PMmEGrxy0vOz所以： ，RMmGvRmv4212100考虑到： ，有： ， ；gMG31g62v（2）利用万有引力提供向心力，有：，20v可得到： 。R384-17火箭以第二宇宙速度 沿地球表面切向飞出，如图所示。在飞2vg离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心 4R 的 A处的速度。解：第二宇宙速度时 ，由机械能守恒：0E2104AMmvGRg再由动量守恒： ，2sinAv代入： 。2v03思考题 44-1一 粒子初时沿 轴负向以速度 运动，后被位于坐标原点的金核所散射，xv使其沿与 轴成 的方向运动(速度大小不变) 试用矢量在图上表出 粒子xo12 所受到的冲量 的大小和方向。I解：由：，21Imv考虑到 ，见右图示。4-2试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。解：可用动量定理来解释。设风沿与航向成 角的方向从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象， 表示这块空气的质量， 和 分别表示它m1v2O4Rv1mv2vI风 风f/fv吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风速大小基本不变，但是由于 的速度方向改变了，所m以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律， 必然m对帆有一个反作用力 ，此力的方向偏向船前进的方向，将 分解为两个分f f量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。4-3两个有相互作用的质点 和 （ ） ，已知在不受外力时它们的1m21总动量为零， 的轨迹

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