5刚体力学基础习题思考题
9页1、习题 55-1如图,一轻绳跨过两个质量为 、半径为 的均匀圆盘状定滑轮,绳的两mr端分别挂着质量为 和 的重物,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两2个定滑轮的转动惯量均为 ,将由两个定滑轮以及质量为 和 的重物/2r m2组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解:受力分析如图,可建立方程:aTmg221()rJ, a2/联立,解得: , 。g41mT85-2如图所示,一均匀细杆长为 ,质量为 ,平放在摩擦系数为 的水平桌l 面上,设开始时杆以角速度 绕过中心 且垂直与桌面的轴转动,试求:0O(1)作用于杆的摩擦力矩;(2)经过多长时间杆才会停止转动。解:(1)设杆的线密度为: ,在杆上l取一小质元 ,有微元摩擦力:dmx,fg微元摩擦力矩: ,Mgd考虑对称性,有摩擦力矩:;2014lxl(2)根据转动定律 ,有: ,Jdt00tMdJ, 。2014mgltl3lg或利用: ,考虑到 , , MJ21Jml有: 。03ltgT5-3如图所示,一个质量为 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子的质量m可以忽略,它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为 、半径M为 ,其
2、转动惯量为 ,试求该物体由静止开始下落的过程R2/MR中,下落速度与时间的关系。解:受力分析如图,可建立方程:mgTaJ, R21联立,解得: , ,mgaM2gT考虑到 , ,有: 。dvt0vtdt 2mgtvM5-4轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮的质量为 ,均4/匀分布在其边缘上,绳子 端有一质量为 的人抓住了绳端,A而在绳的另一端 系了一质量为 的重物,如图。已知滑轮B4/对 轴的转动惯量 ,设人从静止开始以相对绳匀速O2RJ向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求 端重物上升的加速度?B解:选人、滑轮与重物为系统,设 为人相对绳的速度, 为重uv物上升的速度,注意到 为匀速, ,系统对轴的角动量为:0dt213()()44MLvRuvRuBAR()体 人物 物 体而力矩为: ,gg根据角动量定理 有: , 。dtL)23(4uRvdtR2ga5-5计算质量为 半径为 的均质球体绕其轴线的转动惯量。m解:设球的半径为 ,总重量为 ,体密度 ,R34m考虑均质球体内一个微元: ,2sindrdrsin由定义:考虑微元到轴的距离为 sinr,有:2(sin)Jrdm220iiRd。5
3、01(1cos)r25mR5-6一轻弹簧与一均匀细棒连接,装置如图所示,已知弹簧的劲度系数 ,当 时弹簧无形变,细棒的质量4/kNm0,求在 的位置上细棒至少应具有多大的角速度g.5,才能转动到水平位置?解:以图示下方的三角桩为轴,从 时,09考虑机械能守恒,那么:时的机械能为:0,2()(2)13lmgml(重 力 势 能 转 动 动 能 )时的机械能为:09kx有: 22ll( )根据几何关系: ,得:15.).0(128.3srad5-7如图所示,一质量为 、半径为 的圆盘,可绕 轴在铅直面内转动。若mRO盘自静止下落,略去轴承的摩擦,求:(1)盘到虚线所示的铅直位置时,质心 C 和盘缘 A 点的速率;(2)在虚线位置轴对圆盘的作用力。解:(1)设虚线位置的 C 点为重力势能的零点,下降过程机械能守恒,有: ,而2JmgR2213Rm 3434gvc 16ARgv(2) ,方向向上。273yF( 重 力 ) ( 向 心 力 )5-8如图所示,长为 l 的轻杆,两端各固定质量分别为 和 的小球,杆可m2绕水平光滑固定轴 O 在竖直面内转动,转轴 O 距两端分别为 和 轻杆原l31来
4、静止在竖直位置。今有一质量为 的小球,以水平速度 与杆下端小球 作m0v对心碰撞,碰后以 的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度。021v解:根据角动量守恒,有: 2200()()333llmvl 有: 2041()9vl 0l5-9一质量均匀分布的圆盘,质量为 ,半径为 ,放在一粗糙水平面上( 圆MR盘与水平面之间的摩擦系数为 ),圆盘可绕通过其中心 的竖直固定光滑轴转动。开始时,圆盘静止,O一质量为 的子弹以水平速度 垂直于圆盘半径打mv入圆盘边缘并嵌在盘边上,求:(1)子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度;(2)经过多少时间后,圆盘停止转动。(圆盘绕通过 的竖直轴的转动惯量O为 ,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 2MR解:(1)利用角动量守恒:22mv得: ;()vR(2)选微分 ,其中:面密度 ,dr2MR203RfMgmrdg由 有: ,fMtJ 221()03MgRtmR知: 24mg将 代入,即得: 。Rv2vtg5-10有一质量为 、长为 的均匀细棒,静止平放1l在滑动摩擦系数为 的水平桌面上,它可绕通过其端点 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运O动的质量为 的
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