2质点运动定律习题思考题
14页1、1习题 22-1 质量为 16kg 的质点在 平面内运动,受一恒力作用,力的分量为xOy, ,当 时, , , 。当6Nxf7yf0t0m/sxv0yv时,求:2st(1) 质点的位矢;(2) 质点的速度。解:由 ,有: ,xfamxa263/18s27/16yfasm(1) ,20 5/4xxvdt。7/168yyas于是质点在 时的速度:2s7/vij(2) 220()xyrvtiat137(4)()42816ijvv137m48ij2-2 摩托快艇以速率 v0 行驶,它受到的摩擦阻力与速率平方成正比,可表示为F= -kv2(k 为正值常量 )。设摩托快艇的质量为 m,当摩托快艇发动机关闭后,求:(1) 求速率 v 随时间 t 的变化规律;(2) 求路程 x 随时间 t 的变化规律;(3) 证明速度 v 与路程 x 之间的关系为 ,其中 。x0ekvk/解:(1)由牛顿运动定律 得: ,分离变量有Fma2dvt2,2kdvtm两边积分得:速率随时间变化的规律为 ;01ktvm(2)由位移和速度的积分关系: ,txd积分有: 000111ln()lnt kkxdttmvvv路程随时间
2、变化的规律为: ;0l()xtm(3)由 , , 2dvktkdv0xvkd积分有: 。x0ke2-3质量为 的子弹以速度 水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,m0v大小与速度成正比,比例系数为 ,忽略子弹的重力,求:(1) 子弹射入沙土后,k速度随时间变化的函数式;(2) 子弹进入沙土的最大深度。解:(1)由题意,子弹射入沙土中的阻力表达式为: fkv又由牛顿第二定律可得: ,则dvftdmt分离变量,可得: ,两边同时积分,有: ,vkm0tvd所以:tkev0(2)子弹进入沙土的最大深度也就是 的时候子弹的位移,则:0v考虑到 , ,可推出: ,而这个式子两边积分就dxttdvtmdxvk3可以得到位移: 。0max0vdk2-4一条质量分布均匀的绳子,质量为 、长度为 ,ML一端拴在竖直转轴 OO上,并以恒定角速度 在水平面上旋转设转动过程中绳子始终伸直不打弯,且忽略重力,求距转轴为 r 处绳中的张力 T( r)解:在绳子 上距离转轴为 r 处取一小段微元绳子,假设L其质量为 dm,可知: ,因为它做的是圆周dmL运动,所以微元绳的所受合力提供向心力: 。LMdrrmdT
3、22)(距转轴为 r 处绳中的张力 T( r)将提供的是 r 以外的绳子转动的向心力,所以两边积分: 。)()()( 22LMdTLr 2-5已知一质量为 的质点在 轴上运动,质点只受到指向原点的引力作用,mx引力大小与质点离原点的距离 的平方成反比,即 , 是比例常2/xkf数设质点在 时的速度为零,求质点在 处的速度的大小。Ax 4Ax解:由题意: ,再由牛顿第二定律可得: ,2kf2dvmt考虑到 , ,可推出:dvtxtdxvt kvdx两边同时取积分,则: /4201Amk有: Akv62-6一质量为 的质点,在 平面上运动,受到外力 (SI)的g2xy 24Fitjv作用, 时,它的初速度为 (SI),求 时质点的速度及受0t 034vijst1到的法向力 。nF解:由于是在平面运动,所以考虑矢量。由: ,有: ,两边积分有:dvmt24ditjt4, ,0 21(4)vtditjdv3024vtij考虑到 , ,有3s115由于在自然坐标系中, ,而 ( 时) ,表明在 时,切teist1st1向速度方向就是 方向,所以,此时法向的力是 方向的,则利用i j,将 代入有
4、,24Fitjvst424tnFievv 。nN2-7如图,用质量为 的板车运载一质量为1m的木箱,车板与箱底间的摩擦系数为 ,车与2m路面间的滚动摩擦可不计,计算拉车的力 为多F少才能保证木箱不致滑动? 解法一:根据题意,要使木箱不致于滑动,必须使板车与木箱具有相同的加速度,且上限车板与箱底间为最大摩擦。即: max2122fgFa可得: ()g解法二:设木箱不致于滑动的最大拉力为 ,列式有:axFmax21g联立得: ,ax12()Fmg有: 。2-8如图所示一倾角为 的斜面放在水平面上,斜面上放一木块,两者间摩擦系数为 。)(tg为使木块相对斜面静止,求斜面加速度 的范a围。解法一:在斜面具有不同的加速度的时候,木块将分别具有向上和向下滑动的趋势,这就是加速度的两个范围,由题意,可得:(1)当木块具有向下滑动的趋势时(见图 a) ,列式为:5sincosNmg1a可计算得到:此时的 tn(2)当木快具有向上滑动的趋势时(见图 b) ,列式为:sincosg2Nma可计算得到:此时的 ,所以:tn1g。tant1ag解法二:考虑物体 m 放在与斜面固连的非惯性系中,将物体 m 受力
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