极限与函数的连续性
5页1、1复习一 极限与函数的连续性1. 理解极限的概念 了解无穷小与无穷大的概念 了解高阶无穷小和等价无穷小的概念 理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念 了解函数间断点的概念. 2. 掌握极限的有理运算法则 会用两个重要极限 会用等价无穷小求极限 会用罗必塔法则求极限 3. 会讨论分段函数在分段点的连续性 会求函数的间断点 会判断间断点的类型 会用零点定理讨论方程的根的存在性 例 1. 下列函数在指定的变化过程中 ( )是无穷小量 (A) (B) (C)ln(1x)(x1) (D) 1e)xsin ()x1(0)x解 在 A 中 当 x时 101ex在 B 中 当 x时 |sin x|1 故选 B sin0在 C 中 当 x1 时 ln(1x) ln 2 在 D 中 00limli1xx例 2 当 x0 时 是 x 的( )23sin(A)低阶无穷小 (B)同阶但不等价的无穷小 (C)等价无穷小 (D)高阶无穷小解 因为 所以 是 x 的同阶但23001si1limlm(3sin)xxx231sinx不等价无穷小 因此选 B 注 当 x0 时 x 是无穷小 是有界函数 所以 sin0li
2、msx例 3. 下列各式中极限正确的是( ) (A) (B) (C) (D) 10lim)xx1li()exx10li()exx01li()exx解 要根据重要极限 或 来判断 正确的选择是 C 0lixxlix例 4. 下列有关函数 的间断点及类型说法正确的是( )2()3fx2(A) x1 是该函数跳跃性间断点 (B) x1 不是该函数的间断点(C) x2 是该函数的无穷间断点 (D) x2 是该函数的可去间断点.解 x1 和 x2 是间断点 ()()3xf因为 所以 x1 是可去间断点.111limlilim()2xxxf因为 所以 x2 是无穷间断点 故选择 B 22li)li3xxf例 5 _ 20ln(1)isx解 因为 是初等函数 在 x0 处有定义 故在 x0 处连续 所以当 x0 时函li()数极限就是函数在 x0 处的值 即 220ln1l()ims()six例 6. 若 在 x0 处连续 则 a =_tan2e()rcsixxf解 f(0)ae2x|x0a. tan00001etantnlim()lilim2lircsixxxxf要使函数 f(x)在 x0 处连续
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