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极限与函数的连续性(1)

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卖家[上传人]：壹****1

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1、1复习一极限与函数的连续性1. 理解极限的概念了解无穷小与无穷大的概念了解高阶无穷小和等价无穷小的概念理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念了解函数间断点的概念. 2. 掌握极限的有理运算法则会用两个重要极限会用等价无穷小求极限会用罗必塔法则求极限 3. 会讨论分段函数在分段点的连续性会求函数的间断点会判断间断点的类型会用零点定理讨论方程的根的存在性例 1. 下列函数在指定的变化过程中 ( )是无穷小量 (A) (B) (C)ln(1x)(x1) (D) 1e)xsin ()x1(0)x解在 A 中当 x时 101ex在 B 中当 x时 |sin x|1 故选 B sin0在 C 中当 x1 时 ln(1x) ln 2 在 D 中 00limli1xx例 2 当 x0 时是 x 的( )23sin(A)低阶无穷小 (B)同阶但不等价的无穷小 (C)等价无穷小 (D)高阶无穷小解因为所以是 x 的同阶但23001si1limlm(3sin)xxx231sinx不等价无穷小因此选 B 注当 x0 时 x 是无穷小是有界函数所以 sin0li

2、msx例 3. 下列各式中极限正确的是( ) (A) (B) (C) (D) 10lim)xx1li()exx10li()exx01li()exx解要根据重要极限或来判断正确的选择是 C 0lixxlix例 4. 下列有关函数的间断点及类型说法正确的是( )2()3fx2(A) x1 是该函数跳跃性间断点 (B) x1 不是该函数的间断点(C) x2 是该函数的无穷间断点 (D) x2 是该函数的可去间断点.解 x1 和 x2 是间断点 ()()3xf因为所以 x1 是可去间断点.111limlilim()2xxxf因为所以 x2 是无穷间断点故选择 B 22li)li3xxf例 5 _ 20ln(1)isx解因为是初等函数在 x0 处有定义故在 x0 处连续所以当 x0 时函li()数极限就是函数在 x0 处的值即 220ln1l()ims()six例 6. 若在 x0 处连续则 a =_tan2e()rcsixxf解 f(0)ae2x|x0a. tan00001etantnlim()lilim2lircsixxxxf要使函数 f(x)在 x0 处连续

3、必须故 a2. 0li()xf例 7. 求极限 .20e1limcosx解法 1 用等价无穷小代换因为当 x0 时所以2ex 21x 2002lili11cosxx解法 2 用罗必塔法则 3 22 220000(e1)e1elimlilimliecoscossnsinxx xx例 7. 求极限 .2liartnxx解当 x0 时 x2 是无穷小有界函数所以 1rcta201limarctn0xx例 8. 求极限 .13lim()x解 331 3li()li()li(1)li()e1xxxxx 例 9. 求极限 0()e解 (当 x0 时 e x1x )011lim()li)xxx(用罗必塔法则 )2elix 001lilixx例 10. 讨论在 x0 处的连续性1e,()sin,xf解因为 (注当 x0时 )100lim()li(e)xxf11e0x (注当 x0 时是无穷小乘有界函数)arcsin1xarcsinf(0)1 即 0li()xf所以 f(x)在 x0 处连续. 例 11. 证明方程 xsin x+2 至少有一个不超过 3 的正根.证设 f(x)

4、xsin x2 因为 f(x)在0 3上连续且f(0)20 f(3)1sin30 4由零点定理至少存在一点 (0 3) 使 f( )0 即 sin 20. 因此 xsin x+2 至少有一个不超过 3 的正根.练习一一、填空与选择题1当 x0 时, 与 4x23x3 等价的无穷小量是 ( )(A)4x2 (B)3x2 (C)3x3 (D)4x3 2下列极限正确的是( )(A) (B) (C) (D) 0limsn1xsinl1x1limsnx01lisnx3 _ 5()n4设 , 则函数 f(x)在( )210()12xxf(A)x0 x1 处间断 (B)x0 x1 处连续 (C)x0 处间断, x1 处连续 (D)x0 处连续, x1 处间断 5x0 是函数的( )cos,()f(A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C) 无穷间断点 (D) 振荡间断点6若在 x0 处连续则常数 a b 应满足的关系是_2()sinabxf二、计算题1求极限 .24limtan()x2求极限 .201lisx3求极限 .elinxx4求极限 231lim(cos)x5求极限 .0liin56求极限 .10lim()xx7求极限 .128求极限 .2li()xx9求极限 m110求极限 .sinl(e)xx三、讨论题与证明题1讨论的连续性21,0()xfx2证明方程 x5+x10 至少有一个正根.

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