函数极限及导数——高中数学基础知识及典型例题

1、 第 1 页 第 2 页 数学基础知识与典型例题(函数极限与导数)知识网数学归纳法、数列的极限与运算1数学归纳法：(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法:根据事物的部分 (而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法.完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论.(2)数学归纳法步骤:验证当 取第一个 时结论 成立;n00()Pn由假设当 （ ）时,结论 成立，证明当 时,结论 成立;kN k1nk()Pk根据对一切自然数 时， 都成立. 2.数列的极限(1)数列的极限定义:如果当项数 无限增大时,无穷数列 的项 无限地趋近于某个常数 (即nnaa无限地接近于),那么就说数列 以 为极限,或者说 是数列 的极限.记为naan或当 时， .limn(2)数列极限的运算法则: 如果 、 的极限存在，且 ，nblim,linnab那么 ； li()nbalim();nali(0)nb特别地，如果 C 是常数，那么 .CC几个常

2、用极限: （ 为常数） （ 均为常数且 ）lin link,aNk1)1lim0(nqq =首项为 ，公比为 （ ）的无穷等比数列的各项和为 .1alim1naSq注：并不是每一个无穷数列都有极限.四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.数学归纳法、数列的极限与运算例 1. 某个命题与正整数有关，若当 时该命题成立，那么可推得当)(*Nkn时该命题也成立，现已知当 时该命题不成立，那么可推得 （ n1k5）(A)当 时，该命题不成立 (B)当 时，该命题成立66(C)当 时，该命题成立 (D)当 时，该命题不成立44例 2. 用数学归纳法证明 :“ ”在验证 时，左)1(1212aann 1n端计算所得的项为 ( ) (A)1 (B) (C) (D) 32a例 3. 等于( ) (A)2 (B)2 (C) (D) 21limn2例 4. 等差数列中，若 存在，则这样的数列( )nSLi(A)有且仅有一个 (B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个 (D)不存在例 5. 等于( ) (A) (B)0 (C) (D)不存在li(1n1312例 6. 若 ， ，则 (

3、 ) 202)n nxaxa nAa lim83nA(A) (B) (C) (D) 348例 7. 在二项式 和 的展开式中，各项系数之和记为 是正整1n5n ,nab数，则 = .2lim4nab例 8. 已知无穷等比数列 的首项 ，公比为 ，且 ，nNa1qnnSN21,且 ，则 _ .3linS21例 9. 已知数列 前 n 项和 , 其中 b 是与 n 无关的常数，且a()nnSb0b1，若 存在，则 _limnli例 10. 若数列 的通项 ，设数列 的通项 ，又记 是数21nn1nnanT列 的前 n 项的积（）求 ， ， 的值；（）试比较 与 的大小，并证明你的结论1T23nT1a例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A 例 5. C 将分子局部有理化，原式= 第 3 页 第 4 页 例 6.A 例 7. 例 8. 例 9.1 例 10(见后面)1limli2nn1238函数的极限及函数的连续性1.函数的极限(1) 函数的六种极限定义: 的意义是当自变量 取正值并且无限增大时, 无限趋进于一个常数 ;li()xfax()fxa 的意义是当自变量 取负值并且绝对值无限增大

4、时, 无限趋进于一个常数 ; 都存在,且等于 ;lim()li()lim()xxxfffa 的意义是当自变量 从 右侧( 即 )无限趋近于常数 （但0a 0x0x0x不等于 ）时，如果函数 无限趋近于一个常数 ;()f 的意义是当自变量 从 右侧(即 )无限趋近于常数 （但不等于0li()xf000）时，如果函数 无限趋近于一个常数 ;fxa 的意义是当自变量 无限趋近于常数 （但不等于 ）时，如果函数 无限0lim()xfa 0x0x()fx趋近于一个常数 ; 注: , 都存在,且等于 ;0lim()xf0li()f0lim()fa(2)函数极限的运算法则: 如果 , 存在,且 ,xgx0li()xgb那么 , , .这些法则对于其他情况仍然成立 .0li()xfgab0li()xfabA0()lif几个常用极限： ； （ 0 1）; （ 1）1limnlixlixa0sinl1x0limsx2.函数的连续性: (1)定义:如果函数 在点 处及其附近有定义,而且 ,就说函数 在点 处连续.()yf0x0lim()xf()f(2)函数 在点 处连续的充要条件是 .注:等式 的含义0 0

5、0lix有三点: 在点 处及其附近有定义; 存在; ()fx0 0lixf 在点 处的极限值等于这一点的函数值 .0 ()(3) “ 函数 在点 处不连续”就说 的图象在点 处间断.yf0xyf0(4) 函数 在区间上连续: ()若函数 在开区间 内每一点处连续,就说函数 在开区间()ab()yfx内连续; 若函数 在开区间 内每一点处连续,并且(,)ab()fxab, 就说函数 在闭区间 上连续.lim()xflixbfy(5)初等函数在其定义域内每一点处都连续.(6) 连续函数的性质 :闭区间 上的连续函数 的图象是坐标平面上的一条有始,a()f点 和终点 的连续曲线.它有如下性质: (,)af(,)f(最大值和最小值定理)若 是闭区间 上的连续函数,则 在闭区间 上有最大、最小值.xbfx,ab零点定理：若 是闭区间 上的连续函数,且 ,则方程 在区f ()0a()0fx间 上至少有一个实数解. (,)ab介值定理：设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，()fx,ab，那么对于 之间任意的一个数 ，在开区间 内至少有,(fAfBAC(,)ab一点 ，使得 （ ）

6、.C函数的极限及函数的连续性例 11. 21limxx的 值 等 于 （ ） 11()0)22ABD不 存 在例 12. ( ) (A) (B)1 (C)2 (D)00x例 13. 已知 ，则 b 的值为 ( ) (A)4 (B)5 (C)4 (D)521li3xab例 14. 极限 存在是函数 在点 处连续的（ ）0()f)fx0(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件例 15. 如果 是连续函数，则 等于（ ）0() xefa a(A)1 (B)0 (C)1 (D)2例 16. 设函数 在 处连续，且 ，则 等于（ ）)(xf121)(limxf)(f(A) (B) (C) (D)0例 17.函数 在 x=1 处不连续是因为( )()()1fx(A)f(x)在 x=1 处无定义 (B) f(x)不存在(C) f(x)f (1)(D) f(x)1limn1lin1limn f(x)1limn例 18. 为使函数 在 处连续，则定义 _.fx()12 f()例 19. 设 若函数 ,则 的定义域为 .*,Nlinnf()fx例 2

7、0. 已知 ，当 a，b 取值何值时， 存在，其s,0()0,co1,axbf 0lim()xf值为多少. 第 5 页 第 6 页 例 11. 2 111.lim.2xxCx 而 选例 12.A 例 13.B 例 14B.例 15.C 例 16.B 例 17.C 例 18. 例 19. ( 例 20(见后面)2,)1导数1.曲线的切线和切线的斜率: 曲线在点 处的切线,是指曲线上点 的邻近点 沿曲线逐渐向0()PxyP00,xyQ点 接近时,割线 的极限位置所在的直线.Q根据切线的定义,切线的斜率应通过极限过程求得,即 .0tanlimxk=2.瞬时速度: 非匀速直线运动物体在时刻 的临近时间间隔 内的平均速度 ( = ),当t vst时, 的极限值 叫做物体在时刻 的速度,也叫瞬时速度.即0tv 0litsv3.导数的定义: 设 是函数 定义域的一点，如果自变量 在 处有增量 ，则函数值 也引0x()yfxx0xy起相应的增量 ；比值 称为函数 在00()f()(ffy()f点 到 之间的平均变化率；如果极限 存在，则称函数0 000)limlixx在点 处可导，并把这个极限叫做 在 处的导数，记作 或()yfx0 ()f (fx，即 = .0| 0(lilixxfy由定义可知函数 在点 处的导数的几何意义是曲线 在点 处)f ()yf0(,)Py的切线的斜率. 也就是说，曲线 在点 P 处的切线的斜率是 ，切线方()f0(,)xffx程为 00(.yf注： 是增量，我们也称为“改变量” ，因为 可正，可负，但不为零.x函数 在点 处连续与点 处可导的关系：)x0函数 在点 处连续是 在点 处可导的必要不充分条件.(f0()yfx0可以证明，如果 在点 处可导，那么 点 处连续.yf ()f0x事实上，令 ，则 相当于 .0于是 0 00lim()li()lim()xxxfffff.0 00()(li()xxfx如果 点 处连续，那么 在点 处可导，是不成立的.()yf0yf0例： 在点 处连续，但在点 处不可导，因为 ，|xx|y当 0 时， ；当 0 时， ，故 不存在.1x10limx4.导函数: 函数 在开区间 内每一

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