16、依测度收敛 (一)
12页1、实变函数论实变函数论实变函数论第16 讲第四章4 依测度收敛( 一)1、给出鲁津定理的逆并证明鲁津定理逆:(1)定理 (Lusin) 设 mE 则 闭子集 使得1()Ffx)在上连续2( )mE F 若 闭子集 使得1()Ffx) 在 上连续2( )F 则 闭子集 使得1()Ffx) 在 上连续2( )mE F 要证: 为可测 集(| )0mE f = + =且而连续必可测需把F 扩大,把E-F缩小赋值于证明:由已知,1,(),nnnFE mEF fFn = 故0()Ef a 是零集的子集,可测11)( )nnfF Ffa=在 上连续必可测, (为可测集()Ef a从而 为可测集,fE所以 在 上可测。010nnfF mE=又 在 上连续必有限,而fE所以 在 上几乎处处有限。1nn =对mE 则 可测子集E E,使得m(E-E ) 若 可测子集E E,使得m(E-E )=若总有 () () () ()nnf xE f x f x f xxE则称 在可测集 上依测度收敛于 ,记做 ,【注 1】 精确定义:() ()nf xfxxE,即0, 0, , ( | () ()| )nNZ nN
2、 mExfx fx + = =从而11()(| |0) (| |)0kmE f g mE f g m E f gk= = =只要证( 1) 在 对等 前提下,度量收敛的函数列其极限函数唯一。2、依测度收敛的基本性质( 2) 度量收敛 的函数列,其 任一子列也收敛,且极限函数相同k,nf fxE不依测度收敛于 , kk, ()()nnnffxE f x f x ffxE 则有, 设 。.nffx不依测度收敛于 , 思考:由此性质,可以用什么方法来判断函数列在 E上不依测度收敛?找一列子列,则必有() () , () () . () () () ()nn nnf x f xEg x g xE f x g x f x g x +1、设 于 于 证明0,()()22nn n nEf g fg Ef f Eg g + + lim ( ) ( ) lim lim 022nn n nmE f g f g mE f f mE g g + + =证()()22nn n nmE f g f g mE f f mE g g + + 所以,思考:度量收敛列的和是否收敛?数乘,积,商?可测函数定义及性质(练习)
3、一、判断正误1|()| ()fx E fx E、若 在 上可测,则 在 上可测。000,() , 1,2 .,1,2 .xx Efx E Exx E= 例如:函数 其中 是 中的不可测子集|()|fx x E= 为 上的连续函数必可测,分析:00, ( ( ) )aEfxaE=但对 不可测,fE所以 在 上不可测22() ()fx E fx E、若 在 上可测,则 在 上可测反例同上3、具有正测度的集合上必有不可测函数分析110,mE E E E因为 所以存在 , 不可测11110,ExExEE,令 = 1Ex则 ( )在E上不可测 110, ( 0)EaE E= =事实上,对 不可测 () , ( | () )fx E a a Exfx a + =4、若 在 上可测,则 ,有 可测 () () 0,1 ( | () () 1fx gx mExfx gx= =5、 与 在 几乎处处相等,则() , ( | () )fx E r QExfx r 1、 在 上可测 可测ar=证: 用定义,取, .nnnaR r r r a 于是11 ( ) ( ) ( ( ) Efx E gy R gfx2、(104页 )设 在 上可测, 在 连续,则 在 上可测,()aR Egf a 证: 需证 可测 () | () ,gy ygy ay R g a 因 连续, 所以 =R( )是开集(,)nnng aab有R( )() ) ( ( , ) ( )nn n nnEgf a Ef a b Ea f b =由 的可测性,知 可测二、求证函数可测:
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