山东高中数学 2.5.1 平面几何中的向量方法课件

平面几何中的向量方法向量概念和运算，都有明确的物理背 景和几何背景。当向量与平面坐标系结合 以后，向量的运算就可以完全转化为“代 数”的计算，这就为我们解决物理问题和 几何研究带来极大的方便。由于向量的线性运算和数量积运算具 有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质 ，如平移、全等、相似、长度、夹角都可 以由向量的线性运算及数量积表示出来， 因此，利用向量方法可以解决平面几何中 的一些问题。问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两 条邻边长度之间的关系吗？ABCD猜想：1.1.长方形对角线的长度长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有与两条邻边长度之间有 何关系？何关系？2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。 求证：解：设 ，则分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“ 三步曲”：简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形例2 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC解：设 则由于 与 共线，故设又因为 共线，所以设因为 所以ABCDEFRT，故AT=RT=TCABCDEFRT练习、证明直径所对的圆周角 是直角ABCO如图所示，已知O，AB为直径，C 为O上任意一点。求证ACB=90°分析：要证ACB=90°，只须证向 量 ，即 。 解：设 则 ， 由此可得：即 ，ACB=90°思考：能否用向量 坐标形式证明？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。小结：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：