山东高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件

2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义 第二章 平面向量问题提出1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 当两个向量的夹角分别为0°，90°， 180°时，这两个向量的位置关系如何？ 2.任意两个向量都可以进行加、减运 算，同时两个向量的和与差仍是一个向 量，并且向量的加法运算满足交换律和 结合律.由于任意两个实数可以进行乘法 运算，我们自然会提出，任意两个向量 是否也可以进行乘法运算呢？对此，我 们从理论上进行相应分析. 探究（一）:平面向量数量积的背景与含义 WFscos 思考2：功是一个标量，它由力和位移两 个向量所确定，数学上，我们把“功” 称为向量F与s “数量积”.一般地，对 于非零向量a与b的数量积是指什么？ 思考1：如图，一个物体在力F的作用下 产生位移s，且力F与位移s的夹角为， 那么力F所做的功W是多少？ sF思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为，把a|bcos叫做a与b的 数量积（或内积），记作a·b，即 a·b=a|bcos.那么a·b的运算结 果是向量还是数量？ 思考4：特别地，零向量与任一向量的数 量积是多少？ 0·a=0思考5：对于两个非零向量a与b，其数量 积a·b何时为正数？何时为负数？何时为 零？ 当0°90°时，a·b0； 当90°180°时，a·b0； 当90°时，a·b0.a·b=a|bcos思考6：对于两个非零向 量a与b，设其夹角为， 那么acos的几何意 义如何？ab OABA1思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为，acos叫做向量a在b方向 上的投影.那么该投影一定是正数吗？向 量b在a方向上的投影是什么？ 不一定；bcos.|a|cos思考8：根据投影的概念，数量积 a·b=a|bcos的几何意义如何？ 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的 投影bcos的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影acos的乘积，探究（二）：平面向量数量积的运算性质 思考1：设a与b都是非零向量，若ab， 则a·b等于多少？反之成立吗？ ab a·b0 思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？ 当a与b反向时，a·b等于什么？特别地， a·a等于什么？ 当a与b同向时，a·bab； 当a与b反向时，a·bab； a·aa2a2或a .思考3：a·b与ab的大小关 系如何？为什么？ a·bab 思考4：a·b与b·a是什么关系？为什么？ a·bb·a 思考5：对于实数，(a)·b有意义吗？ 它可以转化为哪些运算？ (a)·b(a·b)a·(b)思考6：对于向量a，b，c，(ab)·c有意 义吗？它与a·cb·c相等吗？为什么？A1B1ABOCabcab12思考7：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c 有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为 什么？ (a·b)·ca·(b·c)思考8：对于非零向量a，b，c，若 a·ba·c，那么 bc吗？ 思考9：对于向量a，b，等式(ab)2 a22a·bb2和(ab)(ab)a2b2是 否成立？为什么？ 思考10：对于向量a，b，如何求它们的 夹角？ 理论迁移 例1 已知a5，b4，a与b的 夹角为120°，求a·b. 10 例2 已知a6，b4，a与b的 夹角为60°，求(a2b)·(a3b). 72 例3 已知a3，b4，且a与b 不共线.求当k为何值时，向量akb与 akb互相垂直？ 小结作业1.向量的数量积是一种向量的乘法运算 ，它与向量的加法、减法、数乘运算一 样，也有明显的物理背景和几何意义， 同时还有一系列的运算性质，但与向量 的线性运算不同的是，数量积的运算结 果是数量而不是向量. 2.实数的运算性质与向量的运算性质不 完全一致，应用时不要似是而非. 3. 利用a 可以求向量的模 ，在字符运算中是一种常用方法. 4.利用向量的数量积可以解决有关平行 、垂直、夹角、距离、不等式等问题， 它是一个工具性知识点，具有很强的功 能作用.