山东高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

在研究三角函数时，我们还常常遇到这样的问题：已知任意角、的三角函数值，如何求+、 或 2的三角函数值？下面我们先引出平面内两点间的距离公式， 并从两角和的余弦公式谈起.在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),xyO. P1(x1, y1)P2(x2, y2)M1(x1, 0)M2(x2, 0)N1(0, y1)N2(0, y2)QP1Q=M1M2=x1x2，QP2=N1N2=y1y2，由勾股定理，可得P1P22=P1Q2+QP22=(x1x2)2+(y1y2)2,=x1x22+y1y22由此得到平面内 P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间距离公式：P1P2=接下来，我们继续考虑如何运用两点间 的距离公式，把两角和的余弦cos(+)用 、的三角函数来表示的问题.xyO如图，在直角坐标 平面xOy内作单位圆O, 并作出角、和， P1P2P3P4+P1(1, 0),各点坐标： P2(cos, sin), P3(cos(+), sin(+),P4(cos(), sin(),xyO P1P2P3P4+P1(1, 0),各点坐标：P2(cos, sin), P3(cos(+), sin(+), P4(cos(), sin(), 由P1P3P2P4及两点间距离公式，得 cos(+)12+sin2(+) =cos()cos2 +sin()sin2,cos(+)12+sin2(+)=cos()cos2+sin()sin2,cos2(+)2cos(+)+1+sin2(+) =cos22cos cos+ cos2 + sin2+2sin sin+ sin2， 22cos(+) =22cos cos+2sin sin， cos(+)= cos cos sin sin，（C（+）cos(+)= cos cos sin sin（C（+）这个公式对于任意角、都成立.例如 cos(62° cos62°cos59°+59°) sin62°sin59°cos(113° cos113°cos27°+27°) sin113°sin27° cos coscos()+() sin sin()，cos(+)= cos cos sin sin.（C（+）cos coscos()+() sin sin()，coscos(cos+)sin sin.（C（）例如 cos(113° cos113°+cos27°27°) sin113°sin27° cos(113° cos113°+cos27°+27°) sin113°sin27°coscos(cos+)sin sin.（C（）+cos)sincos(2 cos2sin2=sin，即)cos(2=sin， 2这里，等号两边的角的和为 ，cos2=sin( )，即)cos(2=sin， 2这里，等号两边的角的和为 ， cos2=sin( )，这就是说，诱导公式)cos(2=sin，cos,2sin( )当为任意角时仍然成立.)cos(2=sin，cos,2sin( )cos(+)= cos cos sin sin.运用上述公式，得 sin(+)=cos (+)2 =cos( )2 =cos( )cos2+sin( )sin2 =sincos+cossin,即 sin(+)=sincos +cossin,sin(+)=sincos +cossin,（S（+）在上式中用代替，得sin()=sincos cossin,（S（） 当 cos(+)0 时，有tan (+)=sin (+) cos (+)sincos+cos sin cos cossin sin,若 cos cos0，得 tan (+)=tan +tan 1tan tan.（T（+）tan (+)=tan +tan 1tan tan. tan ()= tan，sin()cos()sincostan ()=tan tan 1+tan tan. （T（）公式S（+）、 C（+）、 T（+）给出 了任意角、的三角函数值(这里指正弦、 余弦或正切)与其和角+的三角函数值之 间的关系. 为方便起见，我们把这三个公式 都叫作和角公式.（T（+）tan (+)=tan +tan 1tan tan. tan ()= tan，sin()cos()tan ()=tan tan 1+tan tan. （T（）类似地，公式S（）、 C（）、T（）都叫作差角公式.sin(+)=sincos +cossin, （S（+） sin()=sincos cossin, （S（）cos(+)= cos cos sin sin， （C（+）cos()= cos cos +sin sin， （C（）等号右边“±”的记忆方式： 在锐角范围内，正弦函数是增函数，余弦函数是减函数， sin(+)=sincos +cossin, （S（+）cos(+)= cos cos sin sin， （C（+）记忆方式：PQMNEFsin(+) =QM =ONsin+QNcos1xyO= sincos + cossin; cos(+) =OM =ONcos QNsin = coscos sinsin.=NE+QF=OEFN例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.解：sin75°=sin( 45°+30°) =sin45°cos30°+cos45°sin30°cos75°=cos( 45°+30°) =cos45°cos30° sin45°sin30°例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.tan75°=或 tan75°=tan( 45°+30°)sin75° cos75°例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.sin15°=cos75°或 sin15°=sin(45°30°) =sin45°cos30°cos45°sin30°例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.cos15°=sin75°或 cos75°=cos( 45°30°) =cos45°cos30° +sin45°sin30°例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值.tan15°=或 tan15°=tan( 45°30°)sin15° cos15°例2、已知 sin= ，( , )， 3 42 cos= , (， ),32 求sin()、cos(+)、tan(+).解：2 3 sin= ，( , )，22 3 cos=3 4cos= , (， ),32 sin=例2、已知 sin= ，( , )， 3 42 cos= , (， ),32 求sin()、cos(+)、tan(+).2 3 sin() =sincos+cossin例2、已知 sin= ，( , )， 3 42 cos= , (， ),32 求sin()、cos(+)、tan(+).2 3cos(+) =coscossinsin例2、已知 sin= ，( , )， 3 42 cos= , (， ),32 求sin()、cos(+)、tan(+).2 3sin(+) =sincos+cossin tan (+)=sin (+) cos (+)例3、利用和角公式求 的值.解：=tan(45°+15°)=tan60°例3、ABC中，求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明： tanA+tanB=tanA、tanB、tanC 都有意义， ABC中没有直角， tan(A+B)=tan(180°C)tanAtanBtan(180°C) = tanC+tanAtanBtanC， tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.tan(A+B)tanAtanBtan(A+B)tanAtanB1.本课小结：在这节课中，我们研究了两个角的和与差的正弦、余弦和正切公式，这些公式在今后有大量的应用，应熟练地、灵活地掌握(例3就是反过来用公式的例子).