山东高中数学 2.3.32.3.4 平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示课件

2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示2.3 平面向量的基本定理及坐标表示第二章 平面向量问题提出 1.平面向量的基本定理是什么？ 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数1，2，使a1e12e2.2.用坐标表示向量的基本原理是什么？设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向 量，若axiyj，则a(x，y).3.用坐标表示向量，使得向量具有代数 特征，并且可以将向量的几何运算转化 为坐标运算，为向量的运算拓展一条新 的途径.我们需要研究的问题是，向量 的和、差、数乘运算，如何转化为坐标 运算，对于共线向量如何通过坐标来反 映等.探究（一）：平面向量的坐标运算 思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个 单位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),则 ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线 性运算性质，向量ab，ab，a（ R）如何分别用基底i、j表示？ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1j.思考2：根据向量的坐标表示，向量 ab，ab，a的坐标分别如何？ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1j.思考3：如何用数学语言描述上述向量 的坐标运算？ 两个向量和（差）的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和（差）； 实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标.ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).oxyBA思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)， 那么向量 的坐标如何？一般地，一个 任意向量的坐标如何计算？ ( x2 x1 ， y2 y1) .任意一个向量的坐标等于表示该向量 的有向线段的终点坐标减去始点坐标.思考5：在上图中，如何确定坐标为 (x2x1，y2y1)的点P的位置？oxyBAP(x2-x1,y2-y1)思考6：若向量a=(x，y)，则|a|如何计 算？若点A(x1,y1)，B(x2，y2)，则 如何计算？ AaxyO探究（二）：平面向量共线的坐标表示 思考1：如果向量a，b共线（其中b0） ，那么a，b满足什么关系？思考2：设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向 量a，b共线（其中b0），则这两个向量 的坐标应满足什么关系？反之成立吗？ ab.向量a，b（b0）共线 axyObABCD思考3：如何用解析几何观点得出上述结 论？向量a，b（b0）共线 思考4：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 若点P分别是线段P1P2的中点、三等分点 ，如何用向量方法求点P的坐标？xyOP2P1PPP思考5：一般地，若点P1(x1，y1)，P2(x2 ，y2)，点P是直线P1P2上一点，且 ，那么点P的坐标有何计算公式？xyOP2P1P理论迁移例1 已知a=(2,1), b=(3,4),求 ab，ab，3a4b的坐标.ab(1，5)，ab(5，3)，3a4b(6，19). 例2 如图，已知 ABCD的三个顶点的 坐标分别是A（-2，1）、B（-1,3）、 C(3,4)，试求顶点D的坐标.oxyABCDD（2，2） 例3 已知向量a=(4，2)，b=(6，y), 且ab，求y的值.y3 例4 已知点A(-1，-1)，B(1，3)， C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线 ？，A、B、C三点共线 . 小结作业 1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表 示和向量的线性运算律得出的结论，它 符合实数的运算规律，并使得向量的运 算完全代数化. 2.对于两个非零向量共线的坐标表示， 可借助斜率相等来理解和记忆. 3.利用向量的坐标运算，可以求点的坐 标，判断点共线等问题，这是一种向量 方法，体现了向量的工具作用.