【通用版】2018届中考数学专题提升（12）与圆的切线有关的计算与证明（含答案）

专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明类型之一 与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图 Z121，O 的切线 PC 交直径 AB 的延长线于点 P，C 为切点，若P30°，O 的半径为 1，则 PB 的长为_1_图 Z121 经典母题答图【解析】 如答图，连结 OC.PC 为O 的切线，PCO90°，在 RtOCP 中，OC1，P30°，OP2OC2，PBOPOB211.【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直【中考变形】2017·天津已知 AB 是O 的直径，AT 是O 的切线，ABT50°，BT 交O 于点 C，E 是 AB 上一点，延长 CE 交O 于点 D.(1)如图 Z122，求T 和CDB 的大小；(2)如图，当 BEBC 时，求CDO 的大小图 Z122解：(1)如答图，连结 AC，AT 是O 的切线，AB 是O 的直径，ATAB，即TAB90°，ABT50°，T90°ABT40°，由 AB 是O 的直径，得ACB90°，CAB90°ABC40°，CDBCAB40°；中考变形答图 中考变形答图(2)如答图，连结 AD，在BCE 中，BEBC，EBC50°，BCEBEC65°，BADBCD65°，OAOD，ODAOAD65°，ADCABC50°，CDOODAADC65°50°15°.【中考预测】2017·宿迁如图 Z123，AB 与O 相切于点 B，BC 为O 的弦，OCOA，OA 与 BC 相交于点 P.(1)求证：APAB；(2)若 OB4，AB3，求线段 BP 的长图 Z123 中考预测答图解：(1)证明：OCOB，OCBOBC，AB 是O 的切线，OBAB，OBA90°，ABPOBC90°，OCAO，AOC90°，OCBCPO90°，APBCPO，APBABP，APAB；(2)如答图，作 OHBC 于 H.在 RtOAB 中，OB4，AB3，OA5，APAB3，3242PO2.在 RtPOC 中，PC2，OC2OP25 PC·OH OC·OP，1212OH，OP·OCPC4 55CH ，OC2OH28 55OHBC，CHBH，BC2CH，16 55BPBCPC2.16 5556 55类型之二 与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图 Z124，A 是O 外一点，AO 的延长线交O 于点 C，点 B 在圆上，且 ABBC，A30°，求证：直线 AB 是O 的切线图 Z124 经典母题答图 证明：如答图，连结 OB，OBOC，ABBC，A30°，OBCCA30°，AOBCOBC60°.ABO180°(AOBA)180°(60°30°)90°，ABOB，又OB 为O 半径，AB 是O 的切线【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径” 【中考变形】12016·黄石如图 Z125，O 的直径为 AB，点 C 在圆周上(异于 A，B)，ADCD.(1)若 BC3，AB5，求 AC 的值；(2)若 AC 是DAB 的平分线，求证：直线 CD 是O 的切线图 Z125 中考变形 1 答图解：(1)AB 是O 直径，C 在O 上，ACB90°，又BC3，AB5，由勾股定理，得 AC4；(2)证明：如答图，连结 OC，AC 是DAB 的平分线，DACBAC，又ADDC，ADCACB90°，ADCACB，DCACBA，又OAOC，OACOCA，OACOBC90°，OCAACDOCD90°，直线 CD 是O 的切线22017·南充如图 Z126，在 RtACB 中，ACB90°，以 AC 为直径作O 交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，连结 DE 并延长交 AC 的延长线点 F.(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若 CF2，DF4，求O 直径的长图 Z126 中考变形 2 答图【解析】 (1)连结 OD，欲证 DE 是O 的切线，需证 ODDE，即需证ODE90°，而ACB90°，连结 CD，根据“等边对等角”可知ODEOCE90°，从而得证；(2)在 RtODF 中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解解：(1)证明：如答图，连结 OD，CD.AC 是O 的直径，ADC90°.BDC90°.又E 为 BC 的中点，DE BCCE，EDCECD.12ODOC，ODCOCD.EDCODCECDOCDACB90°.ODE90°，DE 是O 的切线；(2)设O 的半径为 x.在 RtODF 中，OD2DF2OF2，即 x242(x2)2，解得 x3.O 的直径为 6.【中考预测】如图 Z127，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上，A2BCD，点 E在 AB 的延长线上，AEDABC.(1)求证：DE 与O 相切；(2)若 BF2，DF，求O 的半径10图 Z127 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结 OD.AB 是O 的直径，ACB90°，AABC90°，BOD2BCD，A2BCD，BODA，AEDABC，BODAED90°，ODE90°，即 ODDE，DE 与O 相切；(2)如答图，连结 BD，过点 D 作 DHBF 于点 H.DE 与O 相切，ACDBCDODBBDE90°，ACDOBD，OBDODB，BDEBCD，AEDABC，AFCDBF，AFCDFB，ACF 与FDB 都是等腰三角形，FHBH BF1，HD3，12DF2FH2在 RtODH 中，OH2DH2OD2，即(OD1)232OD2，OD5.即O 的半径是 5.