虹口区暑假补习班大连路新王牌二次函数的概念、图象和性质

王 Q 老师 九年级数学 新王牌教育 www.xwp.com 1 序号： 初中数学备课组 教师： 班级：初三 日期： 上课时间 学生： 学生情况： 授课类型： 主课题：二次函数的概念、图象和性质 教学目标： 1.理解二次函数的概念； 2.会求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域； 3. 会用描点法画出2(0)yax a的图像，并掌握抛物线2yax图像的基本性质（开口方向和大小、对称轴、顶点坐标、增减性和对称性） ； 4、会用待定系数法求二次函数解析式。 教学重点： 对二次函数概念的理解。以及对二次函数图象性质的理解 教学难点： 由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。运用图象性质解题 一、知识精要 一一.二次函数概念：二次函数概念： 1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc， ，是常数，0a ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数 2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 （2）abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二二.二次函数的基本形式二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2yax的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2yaxc的性质：上加下减 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 00， y轴 0x 时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x 时，y有最小值0 0a 向下 00， y轴 0x 时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x 时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c， y轴 0x 时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x 时，y有最小值c 王 Q 老师 九年级数学 新王牌教育 www.xwp.com 2 3. 2ya xh的性质：左加右减。 4. 2ya xhk的性质： 三二次函数三二次函数2yaxbxc的性质的性质 1. 当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa ，顶点坐标为24 24bacb aa， 当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y随x的增大而增大； 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa ，顶点坐标为24 24bacb aa， 当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y随x的增大而减小； 四二次函数解析式的表示方法四二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a ） ； 2. 顶点式：2()ya xhk（a，h，k为常数，0a ） ； 3. 两根式：12()()ya xxxx（0a ，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解 析式的这三种形式可以互化. 0a 向下 0c， y轴 0x 时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x 时，y有最大值c a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0 0a 向下 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k 0a 向下 hk， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k 王 Q 老师 九年级数学 新王牌教育 www.xwp.com 3 五、二次函数图象的平移五、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下： 向右(h>0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0 Da0，b0，c0 【例【例 10】已知函数)(bxaxy（其中ab）的图象如下面右图所示，则函数baxy的图象可能正确的是（ ） 第 10 题图 y x 1 1 O （A） y x 1 -1 O （B） y x -1 -1 O （C） 1 -1 x y O （D） 王 Q 老师 九年级数学 新王牌教育 www.xwp.com 6 【知识点【知识点 4】二次函数的平移】二次函数的平移 【例【例 11】将抛物线 y=x22x 向上平移 3 个单位,再向右平移 4 个单位等到的抛物线是_. 【例【例 12】抛物线322xxy经过怎样平移得到142xxy？ 【知识点【知识点 5】二次函数综合应用】二次函数综合应用 【例例 13】如图，已知抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， D 为 OC 的中点， 直线 AD 交抛物线于点 E（2，6） ，且 ABE 与 ABC 的面积之比为 32 （1）求直线 AD 和抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴与x轴相交于点 F，点 Q 为直线 AD 上一点，且 ABQ 与 ADF 相似，直接写出 点 Q 点的坐标。 OADCEByxF例 13 题图 王 Q 老师 九年级数学 新王牌教育 www.xwp.com 7 【知识点 6】二次函数实际应用 【例例 14】杭州体博会期间,嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施,若不计维修保养费用,预计开放后每月可创收33万元,而该游乐设施开放后,从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元),且2yaxbx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收费g(万元),g也是关于x的二次函数 (1)若维修保养费用第1个月为2万元,第2个月为4万元,求y关于x的解析式； (2)求纯收益g关于x的解析式； (3)设计开放几个月后,游乐场的纯收费达到最大？几个月后,能收回投资？ 王 Q 老师 九年级数学 新王牌教育 www.xwp.com 8 三、巩固练习 1.把二次函数2243yxx 的解析式化成2ya xhk的形式是_. 2.抛物线22yxx有最_点（填“高”或“低”） ，这一点在 x 轴的_方（填“上”或“下”） ，它到 x 轴的距离是_. 3.抛物线23121yxx的顶点坐标是_ 4. 说明函数13yxx 的图像的变化情况：在对称轴 x=_的左侧的部分是 _的，右侧的部分是_的 5已知直线112yx与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将 AOB 绕点 O 顺时针旋转90，使点 A落在点 C，点 B 落在点 D，抛物线2yaxbxc过点 A、D、C，其对称轴与直线 AB 交于点 P；求抛物线的表达式。 6. 如 图 ， 直 线nxy 2(n0) 与轴轴、yx分 别 交 于 点BA、,16OABS， 抛 物 线)0(2abxaxy经过点A，顶点M在直线nxy 2上。 （1）求n的值； （2）求抛物线的解析式； （3）如果抛物线的对称轴与x轴交于点N，那么在对称轴上找一点P，使得 OPN和AMN相似，求点P的坐标。 A B O xy王 Q 老师 九年级数学 新王牌教育 www.xwp.com 9 四、自我测试 一、填空一、填空 1、 二次函数211yx 的开口_， 对称轴是_， 顶点坐标是_， 当120xx时，则1y_ 2y. 2、 已知二次函数2(1)yxmxm的图像经过点（-1,6） ，则 m=_. 3、已知抛物线24yx与直线1ykx有唯一交点，则k= . 4、在平面直角坐标系中，抛物线21yx与x轴的交点的个数是 . 5、抛物线772xkxy的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 . 二、选择二、选择 1、在以下函数： （1）23yx（2）22yx（3）23(1)yx（4）2132yx的图像中，形状相同而位置不同的两个函数是（ ） （A） （1）和（2） （B） （2）和（4） （C） （1）和（3） （D） （3）和（4） 2、下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点（ ） A. 155)23(412xy B. 155)23(412xy C. 155)23(412xy D. 155)23(412xy 3、已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 4、抛物线(1)(3)(0)ya xxa的对称轴是直线（ ） A1x B1x C3x D3x 三、解答题 1、 现有铝合金窗框材料 8 米， 准备用它做一个如图所示的长方形窗架( 窗架宽度 AB 必须小于窗户的高 度 BC)，已知窗台距离房屋天花板 2.2 米。设 AB 为 x 米，窗户的总面积为 S(平方米)。 (1)试写出 S 与 x 的函数关系式； (2)求自变量 x 的取值范围。 FDBCAE王 Q 老师 九年级数学 新王牌教育 www.xwp.com