圆形工件正次品检验数学模型

圆形工件正次品检验模型圆形工件正次品检验模型摘要摘要随着科学技术的进步和社会的发展，人们对机械产品的质量和检查方法提出了更 高的要求。工件的质量包括尺寸、形状、材质以及表面状况等方面，其中尺寸是评价 工件质量的一个重要指标。本文致力于研究检查工件的尺寸的问题，工件的尺寸可以 影响到机器的质量，进而影响到生产质量。在生活中工件分为很多中类型，此次我们 致力于研究圆形工件的正次品的检查，建立了检查圆形工件的数学模型，设计了程序 来帮助检查，这会具有一定的应用性。 在检验圆形工件正次品的问题上，我们想到了三个模型。 模型一中我们利用圆心到点的距离公式，计算所得的距离是在一个范围之内()即 为正品。首先我们任取 3 个点，选取其中 2 点做两条不同直线，这两条直线的中垂线 的交点即为模拟圆心。然后利用圆心到这 36 个点的距离与半径比较反过来检验，超出 范围的即为次品。 模型二中我们先在规定范围内枚举出模拟圆心，然后根据距离公式与半径比较， 就可以判断出正次品。 模型三中我们利用最小圆覆盖问题来检验正次品，首先以两点的距离为直径画一 个圆，使这个圆尽可能包含 36 个点，求出半径最小的圆即为最小圆。如果此圆包含了 所有的点，那么它就是所求的解，如果不能包含就说明有三点及三点在这个圆上。根 据三点确定一个圆，只要枚举出所有的三点所确定的圆，再找出所有成立的圆中半径 最小的圆，比较此圆半径与所规定的半径范围即可知是否为正品。 以上为我们此次所想的三个检查圆形工件正次品的方法。关键词关键词: :圆形工件 平面距离 枚举模拟圆心 最小圆覆盖目录目录一. 问题重述.1二. 问题分析.1三. 符号说明.2四. 模型假设.3五. 模型建立求解及结果分析.3六. 模型优缺点.14七. 改进方向.14八. 参考文献.15九. 附录.161一一. 问题重述问题重述某种工件为圆形, 半径为 10mm0.1mm, 超出此范围即为次品。 测量仪器自动在每个工件的圆周上测量 36 个数据。假定测量出的二维数据 (ix, iy) 是足够精确的，要求建立一个合理的检验正/次品的模型，对每个工件的 36 个数据进行计算后给出判 断。 下面是 5 个工件的测量文件, 存放顺序为(11x, 11y)，(12x, 12y)，(36, 1x, 36, 1y)(21x, 21y)，(22x, 22y)，(36, 2x, 36, 2y)(31x, 31y)，(32x, 32y)，(36, 3x, 36, 3y)(41x, 41y)，(42x, 12y)，(36, 4x, 36, 4y)(51x, 51y)，(52x, 52y)，(36, 5x, 36, 5y)其中表示第i个工件第j个测量数据 (1i5, 1j36)。如第一个工(,)ijijxy件中31.270, 34.290, 31.227, 36.554, , 30.964, 11x 11y12x12y1,35x31.517, 31.105, 32.743。1,35y1,36x1,36y第一个工件 31.270 34.290 31.227 36.554 30.660 38.205 3027 639.375 29.134 40.928 27.808 42.31726.078 43.503 24928 43.922 22.922 44.478 21.188 44.713 19.454 44.459 18.096 44.126 16.016 43.195 14.963 42.265 13.513 40.770 12.954 39.891 11.957 38.060 11.578 36.186 11.420 34.289 11.555 32.551 12.162 30.919 12.732 29.450 13.963 27.973 14.615 27.141 16.495 25.853 17.972 25.318 19.971 24.728 21.712 24.648 23.274 24.806 24.441 25.166 26.647 26.181 27.860 27.163 28.981 28.244 30.202 29.937 30.964 31.517 31.105 32.743 （第二至第五个工件数据略）2二二. 问题分析问题分析工件半径的误差主要由制造工艺造成.工件不合格的原因可能是半径过大或过小， 或是表面粗糙度过大。. 但在这里为了简化模型，我们忽略表面粗糙度对本题的影响。同时假设所给数据 相邻两点之间的轮廓曲线以这两点为极点，因此在分析中只针对给出的点作判定，而 对在点与点连线过程中有可能出现的超出范围的情况直接不作考虑。 根据所给要求，要求工件半径在 10mm +0.1mm 范围内为正品。而为了解决这个问 题，主要是确定工件的圆心位置，将所给的 36 个点到圆心的距离计算出来，或直接计 算所给点构成的圆的半径，与题目所提供的范围比较就可以判断工件是否合格。三三. 符号说明符号说明符号说明i表示工件的序号j表示工件上点的序号xij表示第个工件上第个点的横坐标ijyij表示第个工件上第个点的纵坐标ij3Ri表示第个工件的半径iDij表示第个工件上的第个点ij四四. 模型假设模型假设1. 假设工件上的某点与理想圆的误差服从正态分布 N（，2） 。 2. 假设工件表面不会出现非常剧烈的起伏，不会有毛刺。 3. 假设工件在±1线度内事光滑的。 4. 假设所给数据相邻两点之间的轮廓曲线以这两点为极点。 5. 假设每个工件的数据选择是随机独立具有代表性的。 6. 假设测量的工具误差可忽略。五五. 模型建立求解模型建立求解及结果分析及结果分析运用 Matlab 以及 Excel 做出的五个工件的图形如下所示：第一个工件4第一工件0.00005.000010.000015.000020.000025.000030.000035.000040.000045.000050.00000.000010.000020.000030.000040.0000第二个工件第二工件0.00005.000010.000015.000020.000025.000030.0000-60.0000 -50.0000 -40.0000 -30.0000 -20.0000 -10.00000.00005第三个工件第三工件-10.0000-5.00000.00005.000010.000015.0000-40.000 0-35.000 0-30.000 0-25.000 0-20.000 0-15.000 0-10.000 0-5.0000 0.0000第四个工件6第四工件-50.0000-45.0000-40.0000-35.0000-30.0000-25.0000-20.0000-15.0000-10.0000-5.00000.0000 -10.000 0-5.0000 0.00005.000010.0000 15.0000第五个工件7第五工件-5.00000.00005.000010.000015.000020.00000.00005.000010.000015.000020.000025.000030.0000模型一1 建立： 对每一个工件 i，得到了其上得 36 个数据，这 36 个数据反映在直角坐标系中是36 个离散的点，根据距离公式，可将这 36 个数据到圆心 O22()()ijijiijilxxyy的距离求出来，根据圆的定义可知，若求出来的距离( ,)iix y9.910.1ijmmlmm，这个工件即为正品。(05,036)ij 而圆形工件的圆心 O可由定理圆的弦的中垂线是经过圆心求出。任取 3 个点，取( ,)iix y其中 2 个点，根据这 2 个点的横纵坐标可求出这 2 个点的所确定的直线)2, 2)(1, 1(yxyx8的斜率,这 2 个点的中点为，这样可求出这条弦的中垂线21211xxyyk 221,221yyxx为，另取 2 点，同理求出，其)221(11 221xxxkyyy3, 31, 1yxyx13132xxyyk中垂线为，联立这 2 条中垂线可得到一个交点)231(21 231xxxkyyy，y 代入公式即可求出，交点即为圆心 O。)11 21()223)(1221 2231(kkyy kxx kxxx ( ,)iix y2 求解：第一工件第二工件第三工件9第四工件第五工件3 结果分析：工件序号圆心是否合格1（21.9517,35.1081）否2（-41.1654,18.5773）否103（-24.0207,2.38168）否4（3.77397，- 37.2124）否5（18.284,6.54064）否模型二 1.建立： 首先我们要模拟一个圆心，从中筛选出 minx,miny,maxx,maxy, 减去半径的范围， 确定出了圆心可能的所有可行解的矩形区域。遍历所有可行解，计算 36 个点到模拟圆 心的距离，如果能找出 1 个符合所有距离小于半径的解，那么此工件为正品，否则为 次品。 2.求解： 第一工件第二工件第三工件11第四工件第五工件3.结果分析： 工件序号是否合格1否2是3是124是5否模型三1.建立： 设想一个足够大的圆，逐渐缩小这个圆，并移动这个圆，直到有两点在这个圆周 上，如果这两点的连线不是这个圆的直径，那就说明还可以移动缩小这个圆，直到出 现另一个点在这个圆周上，这个三个点所确定的圆就是所要求的圆。这就是模型三的 思想最小圆覆盖，若 I 不在 1I-1 的最小圆上，则 I 在 1I 的最小圆上。若 J 不 在(i)+(1j-1)的最小圆上，则 j 在(i)+(1J)的最小圆上。 对于最小圆覆盖,就是用 n 个圆去覆盖一个圆,或者用 n 个圆去覆盖正方形、长方 形,等等.例如用 n 个大小不同的圆去覆盖一个圆,我们有如下证明: 假设被覆盖的圆为 母圆,半径设为 1。假定要去覆盖母圆的子圆的半径为 r。 n=1 时,这时只有一个子圆,显然 r=1。min