中学中考数学第一轮复习导学案-一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

- 1 -一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【课前热身课前热身】1.1.方程（2x1） （3x+1）=x2+2 化为一般形式为_，其中 a=_，b=_，c=_2.2.关于 x 的一元二次方程 mx2+nx+m2+3m=0 有一个根为零，则 m 的值等于_3 3.关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个根为 x1=1，x2=2，则 x2+mx+n 分解因式的结果是_4.4. 关于 x 的一元二次方程 2x23xa2+1=0 的一个根为 2，则 a 的值是（ ）A1 B3 C3 D±35.5. 若关于 x 的一元二次方程（m1）x2+5x+m23m+2=0 的常数项为 0，则 m 的值等于（ ）A1 B2 C1 或 2 D0【参考答案参考答案】1.1. 5x2x3=0 5 1 3 2.2. 33 3.（x1） （x+2）5.D5.D6.B6.B【考点聚焦考点聚焦】知识点：知识点：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理大纲要求大纲要求: :1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围； 2.掌握韦达定理及其简单的应用； 3.会在实数范围内把二次三项式分解因式； 4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题.【备考兵法备考兵法】考查重点与常见题型考查重点与常见题型 - 2 -1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于 x 的方程 ax22x10 中，如果 a0一元二次方程002acbxax有两个 实数根，即2, 1x .（2）acb42=0一元二次方程有 相等的实数根，即21xx .（3）acb42（x+1） （x1）=0，所以 x1=1，x2=1（x+2） （x1）=0，所以 x1=2，x2=1（x+3） （x1）=0，所以 x1=3，x2=1- 4 -（x+n） （x1）=0，所以 x1=n，x2=1（2）比如：共同特点是：都有一个根为 1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查例例 3 3（江苏南京）（江苏南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1，在温室内沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留 1m 宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 288m2？【答案】解法一：设矩形温室的宽为 xm，则长为 2xm，根据题意，得（x2）·（2x4）=288解这个方程，得 x1=10（不合题意，舍去） ，x2=14所以 x=14，2x=2×14=28答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2解法二：设矩形温室的长为 xm，则宽为1 2xm根据题意，得（1 2x2）·（x4）=288解这个方程，得 x1=20（不合题意，舍去） ，x2=28所以 x=28×1 2x=1 2×28=14答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m2【解析】在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去【迎考精练迎考精练】一、选择题一、选择题- 5 -1.（台湾）（台湾）若a 、b为方程式x24(x1)=1 的两根，且ab，则ba=_？ A5 B4 C1 D. 3 2.（2 2009009 年湖南株洲）年湖南株洲）定义：如果一元二次方程20(0)axbxca满足0abc，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)axbxca 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是Aac Bab Cbc D abc3.( (四川成都四川成都) )若关于x的一元二次方程2210kxx 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A.1k B.1k 且0k C.1k D. 1k 且0k 4.4.（内蒙古包头）（内蒙古包头）关于x的一元二次方程2210xmxm 的两个实数根分别是12xx、，且22 127xx，则2 12()xx的值是（ ）A1 B12 C13 D255.（湖北荆州）（湖北荆州）关于x的方程2(2)20axax只有一解（相同解算一解） ，则a的值为（ ）A0a B2a C1a D0a 或2a 6.（山东烟台）（山东烟台）设ab，是方程220090xx的两个实数根，则22aab的值为（ ）A2006 B2007 C D 7 （湖北宜昌）（湖北宜昌）设方程x24x1=0 的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( ) A4 B1 C1 D 08 （湖北十堰）（湖北十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A0122 xx B0322 xx C3322xx D0442 xx9 （四川眉山）（四川眉山）若方程2310xx 的两根为1x、2x，则1211 xx的值为() A3 B3 C1 3D1 3- 6 -10 （山东东营）（山东东营）若n（0n ）是关于x的方程220xmxn的根，则m+n的值为（ ）A.1 B.2 C.-1 D.-2 二、填空题二、填空题1.( (上海市上海市) )如果关于x的方程20xxk（k为常数）有两个相等的实数根，那么k 2.（山东泰安）（山东泰安）关于 x 的一元二次方程02) 12(22kxkx有实数根，则 k 的取值范围是 。3.（广西崇左）（广西崇左）一元二次方程230xmx的一个根为1，则另一个根为 4.（广西贺州）（广西贺州）已知关于x的一元二次方程02mxx有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 三、解答题三、解答题1.（山东淄博）（山东淄博） 已知12xx，是方程220xxa的两个实数根，且12232xx（1）求12xx，及a的值；（2）求32 111232xxxx的值2( (广东中山广东中山) )已知：关于x的方程2210xkx （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k值- 7 -3.（重庆江津区）（重庆江津区）已知、分别是ABC 的三边，其中1，4，且关于 x 的方程042bxx有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状.4 （湖南怀化）（湖南怀化）如图，已知二次函数22)(mkmxy的图象与x轴相交于两个不同的点1(0)A x，、2(0)B x ，与y轴的交点为C设ABC的外接圆的圆心为点P（1）求P与y轴的另一个交点 D 的坐标；（2）如果AB恰好为P的直径，且ABC的面积等于5，求m和k的值 5 （湖北黄石）（湖北黄石）已知关于x的函数21yaxx（a为常数）（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围- 8 -【参考答案参考答案】选择题选择题1. A2. A3. B4. C【解析解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式.由题意知：1212.21xxmx xm 又222 12121227xxxxx x 22 217mm 得11m ，25m ，而当5m 时，原方程的判别式254 9110 ，此时方程无解， 5m 不合 题意舍去.12121.3xxx x 222 121212414313xxxxx x ，故选 C本题易出错，学生易在求得11m 或25m 的两个值后，代入1212.21xxmx xm ，求出22 121212413xxxxx x或11，易漏掉检验方程是否存在实根.5. D【解析】本题考查方程的有关知识，关于x的方程2(2)20axax只有一解，有两种情况，该方程是一元一次方程，此时0a ，该方程是一元二次方程，方程有两个相等等的实数根，22420aag，解得2a ，故选 D.6. C7. B8. A9. B10. D填空题填空题1. 412. 49k3.3- 9 -4.1 4m 解答题解答题1. 解：解：（1）由题意，得12122232.xxxx，解得121212xx ， 所以12(12)(12)1axx （2）法一： 由题意，得2 11210xx 所以32 111232xxxx=322 11111223xxxxxx =2 1112211211xxxx 法二： 由题意，得2 1121xx，所以32 111232xxxx=11112(21)3(21)2xxxxx =2 111122632xxxxx=1122(21)33xxx =1121242331211xxxxx 2. 解：（1）2210xkx ，224 2 ( 1)8kk ，无论k取何值，2k 0 ，所以280k ，即0 ，方程2210xkx 有两个不相等的实数根（2）设2210xkx 的另一个根为x，则12kx ，1( 1)2x g，解得：1 2x ，1k ，2210xkx 的另一个根为1 2，k的值为 13. 解:方程240xxb有两个相等的实数根=2( 4)40bb=4. c=4.- 10 -b=c=4.ABC 为等腰三角形.4. 解 （1）易求得点C的坐标为(0)k，由题设可知12xx，是方程0)(22mkmx即022kmxx的两根，故21 22( 2 )4 2mmkx，所以12122xxmxxk ，如图 3，P与y轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，AO