中学中考数学第一轮复习导学案-解直角三角形及其应用

- 1 -解直角三角形及其应用课前热身课前热身1.图 1 是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度 h 是（ ）A833mB4 m C4 3 mD8 m2.如图 2,长方体的长为 15，宽为 10，高为 2 0，点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是（ ） A. 215 B. 25 C. 1055 D. 353.如图 3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为（ ）A. cos5 B. cos5C. sin5 D. sin54.4.如图 4，在RtABC中，ACB90°，1BC ，2AB ，则下列结论正确的是（ ）A3sin2A B1tan2A C3cos2B Dtan3B 5.5.如图 5，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m如果在坡度为 0.75 的山坡上种树，图 2EABCD150°图 1hBCA图 45 米AB图 3- 2 -也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A5m B6m C7m D8m【参考答案参考答案】1.1. B B【解析】过点 B 作直线 AB 的垂线， ，垂足为 E，在 RtBCE 中，sinCBE=BCCE，即sin30°=21 8h，所以 h=4m. 【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利用已知锐角的正弦关系解答即可.本题还可以利用“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”来求解.2.2. B B【解析】根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点 B，较短爬行路线有以下 4 条（红色线段表示）.计算可知最短的是第 2 条.【点评】在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形（即表面展开图）来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.3.3. B B【解析】利用锐角三角函数解答，在以 AB 为斜边的直角三角形中，cosAB5，所以 AB=cos5.【点评】在直角三角形中，根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系.4.4. D D 【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知A=30°，B=60°，对照30°、60°的三角函数值选择正确答案. 【点评】熟记特殊角 30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出 AC，然后根据锐角三角函数定义判断.5.5. A A 【解析】考查了勾股定理和坡度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在这里设铅直高度为 h 米，则有 h:4=0.75，h=3，利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离为2243 =5m.- 3 -【点评】在理解坡度、坡面距离、水平距离等概念的基础上，通过直角三角形的知识来解答.考点聚焦考点聚焦1掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，这是本节重点2了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点备考兵法备考兵法正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键注意：（1）准确理解几个概念：仰角，俯角；坡角；坡度；方位角（2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形（3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，从而转化为解直角三角形的问题考点链接考点链接1 1解直角三角形的概念解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_叫做解直角三角形2 2解直角三角形的类型解直角三角形的类型：已知_；已知_ 3 3如图（如图（1 1）解直角三角形的公式）解直角三角形的公式： （1）三边关系：_ （2）角关系：A+B_， （3）边角关系：sinA=_，sinB=_，cosA=_ cosB=_，tanA=_ ，tanB=_ 4如图（2）仰角是_,俯角是_ 5如图（3）方向角：OA：_，OB：_，OC：_，OD：_6如图（4）坡度：AB 的坡度 iAB_， 叫_，tani_ACB45南北西东60ADCB70OOABCcbaACB- 4 -（图 2） （图 3） （图 4）典例精析典例精析例例 1 1（安徽省）（安徽省）长为4m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整成 60°角（如图所示） ，则梯子的顶端沿墙面升高了 _m【答案】2( 32) （约 0.64）.【解析】涉及知识点有锐角三角函数的应用.4m 的梯子、地面和墙高构成了直角三角形，当梯子搭在墙上与地面成 45°的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4×sin45°=22，当梯子搭在墙上与地面成 60°的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4×sin60°=23.则梯子的顶端沿墙面升高了2( 32) （约 0.64）m【点评】把立体图形转化为平面图形即直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答即可.例例 2 2（山东临沂）（山东临沂）如图，A，B 是公路 l（l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路 l 的距离 AC=1km，B 村到公路 l 的距离 BD=2km，B 村在 A 村的南偏东 45°方向上（1）求出 A，B 两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点 P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法） 【分析】 （1）设 AB 与 CD 的交点为 O，那么三角形 AOC 和 BOD 是两个等要直角三角形，根北东BACDl- 5 -据 A、B 到公路的距离，利用勾股定理计算 AO、BO，进而计算 AB 的长度.或者以 AB 为斜边构造直角三角形解答.（2）作 AB 的垂直平分线，与公路 l 的交点即为所求.【答案】解：（1）方法一：设 AB 与 CD 的交点为 O，根据题意可得45AB °ACO和BDO都是等腰直角三角形2AO，2 2BO AB，两村的距离为22 23 2ABAOBO（km） 方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E易证四边形CDBE是矩形，2CEBD 在RtAEB中，由45A°，可得3BEEA22333 2AB （km）AB，两村的距离为3 2km（2）作图正确，痕迹清晰作法：分别以点AB，为圆心，以大于1 2AB的长为半径作弧，两弧交于两点MN，作直线MN；直线MN交l于点P，点P即为所求【点评】 （1）点到线的距离是垂线短的长，所以图形中就包含了直角三角形，然后利用勾股定理计算便是.本题也可以利用锐角三角函数计算.（2） “到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”把握这个特征是找出确切位置的基础.迎考精练迎考精练一、选择题一、选择题1.（山东泰安）（山东泰安）在一次夏令营活动中，小亮从位于 A 点的营地出发，沿北偏东 60°方向走了 5km 到达 B 地，然后再沿北偏西 30°方向走了若干千米到达C 地，测得 A 地在 C 地南偏西 30°方向，则 A、C 两地的距离为A.km3310B.km335BACDlNMO P第 1 题图- 6 -C.km25 D.km352.2.（山东潍坊）（山东潍坊）如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路l 的距离，在 A 点测得30BAD°，在 C 点测得60BCD°，又测得50AC 米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ）米A25B25 3C100 3 3D2525 3二、填空题二、填空题1.1.（四川遂宁）（四川遂宁）如图，已知ABC 中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么 AC 边上的中线 BD 的长为 cm. 2.2.（浙江宁波）（浙江宁波）如图，在坡屋顶的设计图中，ABAC，屋顶的宽度l为 10 米，坡角为 35°，则坡屋顶高度h为 米 （结果精确到 0.1 米）3.（湖南益阳）（湖南益阳）如图，将以 A 为直角顶点的等腰直角三角形 ABC 沿直线 BC 平移得到CBA，使点B与 C 重合，连结BA，则CBAtan的值为 . 4.4.（山东济南）（山东济南）如图，AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cosAOB的值是 BCADl2 题 EABChlAC(B)BAC D- 7 -5.（山东泰安）（山东泰安）如图，在 RtABC 中，ACB=90°，AB，沿ABC 的中线 CM 将CMA 折叠，使点 A 落在点 D 处，若 CD 恰好与 MB 垂直，则 tanA 的值为 .6.6.（湖南衡阳）（湖南衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为_. 7.7.（湖北孝感）（湖北孝感）如图，角的顶点为 O，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边 OA 上有一点P（3，4） ，则 sin 三、解答题三、解答题1.1.（河南省）（河南省）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2 .90m 的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为 1m矩形面与地面所成的角 为 78°.李师傅的身高为 l.78m，当他攀升到头顶距天花板 0.050.20m 时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据：sin78°0.98，cos78°0.21，tan78°4.70.)OAB第 4 题图D- 8 -2.（福建福州）（福建福州）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签字笔画 ADBC（D 为格点） ，连接 CD；（2）线段 CD 的长为 ；（3）请你在ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 .（4） 若 E 为 BC 中点，则 tanCAE 的值是 3.（山东德州）（山东德州）如图，斜坡 AC 的坡度（坡比）为 1:3，AC10 米坡顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连，AB14 米试求旗杆 BC 的高度 - 9 -4.（浙江台州）（浙江台州）如图，有一段斜坡BC长为 10 米，坡角12CBD，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为 5° （1）求坡高CD；（2）求斜坡新起点A与原起点B的距离（精确到 0.1