1996年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案
第 1 页 共 20 页19961996 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题卷真题卷 数学数学( (一一) )试题试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1) 设2lim()8xxxa xa,则a _.(2) 设一平面经过原点及点(6,-3,2),且与平面428xyz垂直,则此平面方程为_.(3) 微分方程22xyyye的通解为_.(4) 函数22ln()uxyz在(1,0,1)A点处沿A点指向(3, 2,2)B点方向的方向导数为_.(5) 设A是4 3矩阵,且A的秩( )2r A ,而102020103B ,则()r AB _.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项符合只有一项符合 题目要求题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1) 已知2() ()xay dxydy xy 为某函数的全微分,则a等于()(A) -1(B) 0(C) 1(D) 2(2) 设( )f x有二阶连续导数,且(0)0f , 0( )lim1|xfx x,则()(A)(0)f是( )f x的极大值(B)(0)f是( )f x的极小值(C)(0,(0)f是曲线( )yf x的拐点(D)(0)f不是( )f x的极值,(0,(0)f也不是曲线( )yf x的拐点(3) 设0(1,2,)nan,且1n na收敛,常数(0,)2,则级数2 1( 1) ( tan)n n nnan()(A) 绝对收敛(B) 条件收敛(C) 发散(D) 收敛性与有关第 2 页 共 20 页(4) 设( )f x有连续的导数,(0)0f,(0)0f ,220( )() ( )xF xxtf t dt,且当0x 时,( )F x与kx是同阶无穷小,则k等于()(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(5) 四阶行列式1122334400000000ababbaba的值等于()(A)12341 2 3 4a a a abb b b(B)12341 2 3 4a a a abb b b(C)121 2343 4()()a abba ab b(D)232 3141 4()()a ab ba abb三、三、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1010 分分.).)(1) 求心形线(1 cos )ra的全长,其中0a 是常数.(2) 设110x ,16(1,2,)nnxxn,试证数列 nx极限存在,并求此极限.四、四、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 6 6 分分, ,满分满分 1212 分分.).)(1) 计算曲面积分(2)Sxz dydzzdxdy,其中S为有向曲面22(01)zxyz,其法向量与z轴正向的夹角为锐角.(2) 设变换2 ,uxyuxay 可把方程2222260zzz xx yy 化简为2 0z u v ,求常数a,其中( , )zz x y有二阶连续的偏导数.第 3 页 共 20 页五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )求级数2 21 (1)2nnn的和.六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设对任意0x ,曲线( )yf x上点( ,( )x f x处的切线在y轴上的截距等于01( )xf t dtx,求( )f x的一般表达式.七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )设( )f x在0,1上具有二阶导数,且满足条件|( )|f xa,|( )|fxb,其中, a b都是非负常数,c是(0,1)内任一点,证明|( )| 22bfca.第 4 页 共 20 页八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设TAE,其中E是n阶单位矩阵,是n维非零列向量,T是的转置,证明：(1)2AA的充要条件是1T ；(2) 当1T 时,A是不可逆矩阵.九、九、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )已知二次型222 123123121323( ,)55266f x x xxxcxx xx xx x的秩为 2.(1) 求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；(2) 指出方程123( ,)1f x x x表示何种二次曲面.第 5 页 共 20 页十、填空题十、填空题( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 6 6 分分.).)(1) 设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由A和B的产品分别占 60%和 40%的 一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是_.(2) 设、是两个相互独立且均服从正态分布21(0,() )2N的随机变量,则随机变量的数学期望()E_.十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).)设、是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为1 3Pi,i=1,2,3,又设max( , )X ,min( , )Y .(1) 写出二维随机变量(, )X Y的分布律：X Y123123(2) 求随机变量X的数学期望()E X.第 6 页 共 20 页19961996 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题卷真题卷 数学数学( (一一) )试题参考答案及解析试题参考答案及解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1)【答案】ln2【解析】这是1型未定式求极限.方法一：方法一：3 323lim()lim(1)x aax xax axxxaa xaxa,令3atxa,则当x 时,0t ,则1 303lim(1)lim(1)x a atxtatexa,即33limlim312lim()xxaxa xax axxaeeexa.由题设有38ae,得1ln8ln23a .方法二：方法二：222 3()2221lim 112limlimlim 11lim 1xxaxaxaxa xxaxxxaaxaaa xaexxxeaxaeaaxxx ,由题设有38ae,得1ln8ln23a .(2)【答案】2230xyz【解析】方法一方法一：所求平面过原点O与0(6, 3,2)M,其法向量06, 3,2nOM ；平面垂直于已知平面428xyz,它们的法向量也互相垂直：04, 1,2nn ；由此,00/632446412ijknOMnijk .取223nijk ,则所求的平面方程为2230xyz.方法二：方法二：所求平面即为过原点,与两个不共线的向量(一个是从原点到点0(6, 3,2)M的向量第 7 页 共 20 页06, 3,2OM ,另一是平面428xyz的法向量04, 1,2n )平行的平面,即6320412xyz,即2230xyz.(3)【答案】12(cossin1)xe cxcx【解析】微分方程22xyyye所对应的齐次微分方程的特征方程为2220rr,解之得1,21ri .故对应齐次微分方程的解为12(cossin )xye CxCx.由于非齐次项,1xe不是特征根,设所给非齐次方程的特解为*( )xyxae,代入22xyyye得1a (也不难直接看出*( )xyxe),故所求通解为1212(cossin )(cossin1)xxxye CxCxee CxCx.【相关知识点】 二阶线性非齐次方程解的结构：设*( )yx是二阶线性非齐次方程( )( )( )yP x yQ x yf x的一个特解.( )Y x是与之对应的齐次方程( )( )0yP x yQ x y的通解,则*( )( )yY xyx是非齐次方程的通解. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解( )Y x,可用 特征 方 程法 求解 ： 即( )( )0yP x yQ x y中 的( )P x、( )Q x均 是常 数 , 方 程变 为0ypyqy.其特征方程写为20rprq,在复数域内解出两个特征根12,r r；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根12,r r,则通解为12 12;rxr xyC eC e(2) 两个相等的实数根12rr,则通解为1 12;rxyCC x e(3) 一对共轭复根1,2ri,则通解为12cossin.xyeCxCx其中12,C C为常数. 对于求解二阶线性非齐次方程( )( )( )yP x yQ x yf x的一个特解*( )yx,可用待定系数法,有结论如下：如果( )( ),x mf xP x e则二阶常系数线性非齐次方程具有形如*( )( )kx myxx Qx e的特解,其中( )mQx是与( )mP x相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.第 8 页 共 20 页如果( )( )cos( )sinx lnf xeP xxP xx,则二阶常系数非齐次线性微分方程( )( )( )yp x yq x yf x的特解可设为*(1)(2)( )cos( )sinkx mmyx eRxxRxx,其中(1)( ) mRx与(2)( ) mRx是m次多项式,max,ml n,而k按i(或i)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.(4)【答案】1 2【分析】先求方向l 的方向余弦和,uuu xyz ,然后按方向导数的计算公式coscoscosuuuu lxyz求出方向导数.【解析】因为l 与AB 同向,为求l 的方向余弦,将3 1, 20,2 12, 2,1AB 单位化，即得12, 2,1cos ,cos,cos3|ABlAB .将函数22ln()uxyz分别对, ,x y z求偏导数得22(1,0,1)11 2Au xxyz,2222(1,0,1)0 ()Auy yxyzyz,2222(1,0,1)1 2()Auz zxyzyz,所以coscoscosAAAAuuuu lxyz1221110 ()233
