2002年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案

第 1 页 共 14 页20022002 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)exxdx2ln= _.(2)已知2e610yxyx ,则(0)y=_.(3)02 yyy满足初始条件1(0)1,(0)2yy的特解是_.(4)已知实二次型3231212 32 22 1321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf经正交变换可化为标准型2 16yf ,则a=_.(5) 设 随 机 变 量),(2NX, 且 二 次 方 程042Xyy无 实 根 的 概 率 为 0.5, 则=_.二二、选择题选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目只有一个符合题目 要求要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(yxf的四条性质:(),(yxf在点),(00yx处连续, ),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数连续,),(yxf在点),(00yx处可微, ),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数存在.则有:(A)(B) (C)(D)(2)设0nu,且1lim nnun,则级数)11() 1(11 nnn uu为()(A)发散(B)绝对收敛 (C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(xf在R上有界且可导,则()(A)当0)(lim xf x时,必有0)(lim xf x(B)当)(limxf x 存在时,必有0)(lim xf x第 2 页 共 14 页(C) 当0)(lim 0 xf x时,必有0)(lim 0 xf x(D) 当)(lim 0xf x 存在时,必有0)(lim 0 xf x.(4)设有三张不同平面,其方程为iiiidzcybxa(3 , 2 , 1i)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(xfX和)(yfY,分布函数分别为)(xFX和)(yFY,则(A)(xfX)(yfY必为密度函数(B)(xfX)(yfY必为密度函数(C)(xFX)(yFY必为某一随机变量的分布函数(D)(xFX)(yFY必为某一随机变量的分布函数.四、四、(本题满分本题满分 7 分分)已知两曲线)(xfy 与2arctan0extydt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(limnnf n.第 3 页 共 14 页五、五、(本题满分本题满分 7 分分)计算二重积分22max,exyDdxdy,其中10 , 10| ),(yxyxD.六、六、(本题满分本题满分 8 分分)设函数)(xf在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(ba,),终点为(dc,).记dyxyfyyxdxxyfyyI 1)()(1 12 22,(1)证明曲线积分I与路径L无关.(2)当cdab 时,求I的值.第 4 页 共 14 页七、七、(本题满分本题满分 7 分分)(1)验证函数03)!3()(nnnxxy(x)满足微分方程exyyy.(2)求幂级数03)!3()(nnnxxy的和函数.八、八、(本题满分本题满分 7 分分) 设 有 一 小 山 , 取 它 的 底 面 所 在 的 平 面 为xoy面 , 其 底 部 所 占 的 区 域 为75| ),(22xyyxyxD,小山的高度函数为),(yxhxyyx2275.(1)设),(00yxM为区域D上一点,问),(yxh在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00yxg,写出),(00yxg的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中),(yxg达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.第 5 页 共 14 页九、九、(本题满分本题满分 6 分分)已知四阶方阵1234(,)A ,1234, 均为四维列向量,其中234, 线性无关,1232.若1234,求线性方程组x A的通解.十、十、(本题满分本题满分 8 分分)设,A B为同阶方阵,(1)若,A B相似,证明,A B的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当,A B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.第 6 页 共 14 页十一、十一、(本题满分本题满分 7 分分)设维随机变量X的概率密度为( )f x 1cos022 0xxx其它对X独立地重复观察 4 次,用Y表示观察值大于3的次数,求2Y的数学期望.十十二二、(本题满分本题满分 7 分分)设总体X的概率分布为 X0123P2)1 (2221其中(102)是未知参数,利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求的矩估计和最大似然估计值.第 7 页 共 14 页20022002 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学数学(一一)试卷试卷参考答案参考答案一、填空题(1)【分析】原式2ln11.lnlneedx xx (2)【分析】方程两边对x两次求导得' 6' 620,ye yxyyx2'''6'' 12 ' 20.yye ye yxyy以0x 代入原方程得0y ,以0xy代入得'0,y ,再以'0xyy代入得''(0)2.y (3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程.令'( )yP y(以y为自变量),则'''.dydPdPyPdxdxdy代入方程得20dPyPPdy,即0dPyPdy(或0P ,但其不满足初始条件01'2xy).分离变量得0,dPdy Py积分得lnln',PyC即1CPy(0P 对应10C );由0x 时11,',2yPy得11.2C 于是1',2,2yPydydxy积分得2 2yxC.又由01xy得21,C 所求特解为1.yx(4)【分析】因为二次型Tx Ax经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值,所以6,0,0是A的特征值.又因iiia,故600,2.aaaa第 8 页 共 14 页(5)【分析】设 事 件A表 示 “ 二 次 方 程042Xyy无 实 根 ” , 则1640AXX4.依题意,有1( )4.2P AP X而44141(),P XP X 即4141 41(),(),0.4.22二、选择题(1)【分析】这是讨论函数( , )f x y的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,( , )f x y的两个偏导数连续是可微的充分条件,若( , )f x y可微则必连续,故选(A).(2)【分析】由1lim101nnunn 充分大时即,N nN时10nu,且1lim0, nnu不妨认为,0,nn u因而所考虑级数是交错级数,但不能保证1nu的单调性.按定义考察部分和111111111111( 1)()( 1)( 1)nnn kkk n kkkkkkkSuuuu1111111( 1)11( 1)1( 1)(),knnn lklklnnuuuuu 原级数收敛.再考察取绝对值后的级数1111()nnnuu.注意1111 12,11nnnnuunnn uun n11nn发散1111()nnnuu发散.因此选(C).(3)【分析】证明(B)对:反证法.假设lim( )0 xfxa ,则由拉格朗日中值定理,第 9 页 共 14 页(2 )( )'( )()fxf xfxx (当x 时, ,因为2xx);但这与(2 )( )(2 )( )2fxf xfxf xM矛盾( ).f xM(4)【分析】因为( )( )23r Ar A,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B).(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是( )( )3.r Ar A(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故( )2r A 和( )3r A ,且A中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故( )2r A ,( )3r A ,且A中有两个平行向量共线.(5)【分析】首先可以否定选项(A)与(C),因121212( )( )( )( )21,()()1 121.f xfx dxf x dxfx dxFF 对于选项(B),若121, 21,1,01,( )( )0,0,xxf xfx 其他，其他，则对任何(,),x 12( )( )0f x fx ,12( )( )01,f x fx dx因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D).进一步分析可知,若令12max(,)XXX,而( ),1,2,iiXf x i 则X的分布函数( )F x恰是12( )( ).F x F x1212( )max(,),F xPXXxP Xx Xx1212 ( )( ).P Xx P XxF x F x三、 【解】 用洛必达法则.由题设条件知0lim( )(2 )(0)(1) (0). haf hbfhfabf 由于(0)0f ,故必有10.ab 又由洛必达法则 00( )(2 )(0)'( )2'(2 )limlim1hhaf hbfhfafhbfh h(2 )'(0)0,ab f第 10 页 共 14 页及(0)0f ,则有20ab.综上,得2,1.ab 四、 【解】 由已知条件得(0)0,f22arctanarctan0020'(0)()'1,1xxt xxxefedtx 故所求切线方程为yx.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得02( )(0)2( )(0)lim( )2lim2lim2'(0)2.2nnxfff xfnnffnx n五、 【分析与求解】D是正方形区域如图.因在D上被积函数分块表示2 222,max,( , ),xxyxyx yDyxy于是要用分块积分法,用yx将D分成两块:1212,.DDD DDyxDDyxUIII222212max,max,xyxyDDedxdyedxdy2221212xyxDDDe