1992年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案
第 1 页 共 19 页1991992 2 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷数学数学（一一）试题）试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1) 设函数( )yy x由方程cos()0x yexy确定,则dy dx_.(2) 函数222ln()uxyz在点(1,2, 2)M处的梯度Mgradu_.(3) 设21, 0,xxxf xex 求31(2)f xdx.第 3 页 共 19 页四、四、( (本题满分本题满分 6 6 分分.).)求微分方程323xyyye的通解.五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )计算曲面积分323232()()()xazdydzyaxdzdxzaydxdy,其中为上半球面222zaxy的上侧.六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设( )0fx,(0)0f,证明对任何120,0xx,有1212()()()f xxf xf x.第 4 页 共 19 页七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )在变力Fyzzxxyijk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221xyz abc上第一卦限的点( , , )M ,问当, , 取何值时,力F所做的功W最大?并求出W的最大值.八、八、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设向量组123、线性相关,向量组234、线性无关,问：(1)1能否由23、线性表出？证明你的结论.(2)4能否由123、线性表出？证明你的结论.第 5 页 共 19 页九、九、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设 3 阶矩阵A的特征值为1231,2,3,对应的特征向量依次为1231111 ,2 ,3149 ,又向量123 ,(1) 将用123, 线性表出.(2) 求nA(n为自然数).十、填空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).)(1) 已知1( )( )( )4P AP BP C,()0P AB ,1()()16P ACP BC,则事件A、B、C全不发生的概率为_.(2) 设随机变量X服从参数为 1 的指数分布,则数学期望2()XE Xe_.第 6 页 共 19 页十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设随机变量X与Y独立,X服从正态分布2( ,)N ,Y服从, 上的均匀分布,试求ZXY的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数( ) x表示,其中221( )2txxedt).第 7 页 共 19 页1991992 2 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷数学数学（一一）试题参考答案及解析）试题参考答案及解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】sin() sin()x yx yeyxy exxy【解析】函数( )yy x是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.方程两边对x求导,将y看做x的函数,得(1)sin()()0x yeyxy xyy.解出y,即sin() sin()x yx ydyeyxyydxexxy .【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果( )ug x在点x可导,而( )yf x在点( )ug x可导,则复合函数( )yf g x在点x可导,且其导数为( )( )dyf ug xdx或dydy du dxdu dx.2.两函数乘积的求导公式：( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x.(2)【答案】21,2, 29【解析】对函数u求各个分量的偏导数,有2222ux xxyz；2222uy yxyz；2222uz zxyz.由函数的梯度(向量)的定义,有2221,2 ,2 ,2uuugraduxyzxyzxyz,所以222122,4, 41,2, 212( 2)9Mgradu .【相关知识点】复合函数求导法则：如果( )ug x在点x可导,而( )yf x在点( )ug x可导,则复合函数( )yf g x在点x可导,且其导数为第 8 页 共 19 页( )( )dyf ug xdx或dydy du dxdu dx.(3)【答案】21 2【解析】x是, 区间的端点,由收敛性定理狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在x处收敛于22111 (0)(0) 1 1222ff .【相关知识点】收敛性定理狄利克雷充分条件：函数( )f x在区间, l l上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；() 只有有限个极值点.则( )f x在, l l上的傅里叶级数收敛,而且01(cossin)2nn nannaxbxll( ), (, )( )1(0)(0) , (, )( )2 1(0)(0) , .2f xxl lf xf xf xxl lf xflf lxl 若为的连续点,若为的第一类间断点,若(4)【答案】coscos ,yxxCx C为任意常数【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于tan1 |cos|xdxex,方程两边同乘1 cos x,得111coscosyyxCxx 积分 .故通解为coscos ,yxxCx C为任意常数.(5)【答案】1【解析】因为矩阵A中任何两行都成比例(第i行与第j行的比为ija a),所以A中的二阶子式全为 0,又因0,0iiab,知道1 10ab ,A中有一阶子式非零.故( )1r A .【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r阶子式不为零,而所有的1r 阶子式全为零时,则此矩阵的秩为r.第 9 页 共 19 页二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点0x的极限是否存在需要判定左极限0xx和右极限0xx是否存在且相等,若相等,则函数在点0x的极限是存在的.112 11111limlim(1)01xxxxxexex,112 11111limlim(1)1xxxxxexex ,0 ,故当1x 时函数没有极限,也不是.故应选(D).(2)【答案】(C)【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小2111 cos()2nnn ,22( 1) (1 cos)1 cos()2nnnnn ,又因为p级数：11p nn当1p 时收敛；当1p 时发散.所以有22 11 2nn收敛.1( 1) (1 cos)nnn收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).注注： 对于正项级数1n na,确定无穷小na关于1 n的阶(即与p级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法.(3)【答案】B【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为 0 得切点对应的t值.求曲线上的点,使该点处的切向量与平面24xyz的法向量1,2,1n 垂直,即可以让切线与平面平行.曲线在任意点处的切向量2( ),( ),( )1, 2 ,3x ty tz ttt,0nn ,即31 430tt,解得11,3tt.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)因此,只有两条这种切线,应选(B).(4)【答案】(C)【解析】因33x处处任意阶可导,只需考查2|( )xxx,它是分段函数,0x 是连接点.第 10 页 共 19 页所以,写成分段函数的形式,有33,0,( ), 0,xxxxx对分段函数在对应区间上求微分,223,0,( )3, 0,xxxxx 再考查( )x在连接点0x 处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.3 0(0)()0xx,3 0(0)()0(0)0xx ,即223,0,( )3, 0.xxxxx 同理可得6 ,0,( )6 , 0,x xxxx(0)0,即6 ,0( )6|6 , 0x xxxxx.对于yx有(0)1,(0)1.yy 所以yx在0x 不可导,(0)不存在,应选(C).(5)【答案】(A)【解析】1,2向量对应的分量不成比例,所以1,2是0Ax 两个线性无关的解,故( )2nr A.由3n 知( )1r A .再看(A)选项秩为 1；(B)和(C)选项秩为 2；而(D)选项秩为 3.故本题选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax ,有定理如下:对矩阵A按列分块,有12nA, ,则0Ax 的向量形式为11220nnxxx.那么,0Ax 有非零解12n, 线性相关12nr,n r An.三、三、( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【解析】由等价无穷小有0x 时,2221111()22xxx,原式= 20021 sin1 sinlimlim111 2xxxxexexxx ,第 11 页 共 19 页上式为“0 0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有原式 00cossinlimlim1xxxxexex x洛必达洛必达1 011.(2) 【解析】 这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求z x ,再求()z yx .由复合函数求导法则得22 1212(sin )()sin2xxzfeyfxyfeyfxxxx,212(sin2 )xzf eyfxx yy 111212122(cos2 )sincos(cos2 )2xxxxf eyfy eyf eyf eyfyx2 1112221sincos2( sincos )4cosxxxfeyyfeyyxyfxyfey.【相关知识点】 多元复合函数求导法则： 如果函数( , ),( , )ux y vx y都在点( , )
