2006年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案
第 1 页 共 15 页20200606 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学数学（一）试卷（一）试卷一、填空题一、填空题（1） 0ln(1)lim1 cosxxx x.（2）微分方程(1)yxyx 的通解是.（3）设是锥面22zxy（01z）的下侧，则23(1)xdydzydzdxzdxdy.（4）点(2,1, 0)到平面3450xyz的距离z=.（ 5 ） 设 矩 阵2112A，E为 2 阶 单 位 矩 阵 ， 矩 阵B满 足2BABE， 则B=.（ 6 ） 设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立 ， 且 均 服 从 区 间 0, 3 上 的 均 匀 分 布 ， 则max, 1PX Y =.二、选择题二、选择题（7） 设函数( )yf x具有二阶导数， 且( )0,( )0fxfx，x为自变量x在0x处的增量，y与dy分别为( )f x在点0x处对应的增量与微分，若0x ，则（A）0.dxy （B）0.ydy （C）0.ydy （D）0.dyy 【】（8）设( , )f x y为连续函数，则14 00( cos , sin )df rrrdr 等于（A）2212 0( , ).xxdxf x y dy（B）2212 00( , ).xdxf x y dy（C）2212 0( , ).yydyf x y dx（C）2212 00( , ).ydyf x y dx【】（9）若级数1n na收敛，则级数第 2 页 共 15 页（A）1n na收敛.（B）1( 1)nn na收敛.（C）1 1nn na a 收敛.（D）112nnnaa 收敛.【】（10）设( , )f x y与( , )x y均为可微函数，且1( , )0yx y. 已知00(,)xy是( , )f x y在约束条件( , )0x y下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.（B）若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.（C）若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.（D）若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.【】（11）设12, ,a aa均为n维列向量，A是m n矩阵，下列选项正确的是（A）若12, ,a aa线性相关，则12,AaAaAa线性相关.（B）若12, ,a aa线性相关，则12,AaAaAa线性无关.（C）若12, ,a aa线性无关，则12,AaAaAa线性相关.（D）若12, ,a aa线性无关，则12,AaAaAa线性无关.【】（12）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得C，记110010001P ，则（A）1.CP AP（B）1.CPAP（C）.TCP AP（D）.TCPAP【】（13）设,A B为随机事件，且( )0,(|)1P BP A B，则必有（A）()( ).P ABP A（B）()( ).P ABP B（C）()( ).P ABP A（D）()( ).P ABP B【】（14）设随机变量X服从正态分布2 11(,)N ，Y服从正态分布2 22(,)N，且第 3 页 共 15 页12| 1| 1,PXP Y（A）12.（B）12.（C）12.（D）12.【】三三 解答题解答题15 设区域 D=22,1,0x y xyx,计算二重积分221 1DxyIdxdyxy。16 设数列 nx满足110,sin1,2,.nxxxn。求: ()证明limnxx 存在,并求之 。()计算211limnxnxnx x 。第 4 页 共 15 页17 将函数 22xf xxx展开成 x 的幂级数。18 设函数 0,f u在内具有二阶导数 且22zfxy满足等式22220zz xy()验证 0fufuu.()若 10,11,fff u求函数的表达式.第 5 页 共 15 页19 设在上半平面 D=,0x yy 内,数,f x y是有连续偏导数 ,且对任意的 t>0 都有2,f tx tyt f x y.证明: 对 L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L,都有 2,0yf x y dxxf x y dy 20 已知非齐次线性方程组12341234123414351331xxxxxxxxaxxxbx 有 个线性无关的解证明方程组系数矩阵 A 的秩 2r A 求, a b的值及方程组的通解第 6 页 共 15 页21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量121,2, 1,0, 1,1TT 是线性方程组Ax=0 的两个解, ()求 A 的特征值与特征向量()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得TQ AQA.22 随机变量 x 的概率密度为 21, 102 1,02,4 0,xxfxxyxF x y 令其他为二维随机变量(X,Y)的分布函数.()求 Y 的概率密度 Yfy()1,42F第 7 页 共 15 页23 设总体 X 的概率密度为01,0112010xF Xx 其中 是未知参数其它,12n,.,XXX为来自总体 X 的简单随机样本,记 N 为样本值12,.,1nx xx 中小于 的个数,求的最大似然估计.第 8 页 共 15 页20200606 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学数学（一）试卷参考答案（一）试卷参考答案一、填空题（1） 0ln(1)lim1 cosxxx x =221ln(1),1 cos2xxxx（0x 当时）（2）微分方程(1)yxyx 的通解是(0)xycxex，这是变量可分离方程。（3）设是锥面22(01)xyZZ=的下侧，则23(1)2xdydzydzdxzdxdy补一个曲面221:1xyz1上侧,2 ,3(1)PxQyRz1236PQR xyz 16dxdydz（为锥面和平面1所围区域）6V（V为上述圆锥体体积）623而123(1)0dydzydzdxzdxdy（在1上：1,0zdz）（4）,1,0,4502xyzd点(2)到平面3的距离2223 24 11022502345d 二、选择题（7） 设函数( )yf x具有二阶导数， 且( )0fx，( )0fx，x为自变量x在0x处的增量，y与dy分别为( )f x在点0x处对应的增量与微分。若0x ，则A(A)(B)(C)0(D)0dyyydyydydyy00 ( )0,( )fxf x因为则严格单调增加第 9 页 共 15 页( )0,( )fxf x则是凹的 0,0xdyy又故2210221122 000(8)( , )( cos , sin )C(A)( , )(B)( , )xxxf x ydf rrrdrdxf x y dydxf x y dy 4 0设为连续函数,则等于22221122 000(C)( , )(D)( , )yyydyf x y dxdyf x y dx1111 11 111(9)D( )( )( 1)( )()()2n nn nn nnnn nnn nnnaAaBaaaCa aDa 若级数收敛,则级数收敛收敛收敛收敛也收敛00000000000000000(10)( , )( , )( , )0,( , )( , )0yxyxyxyxyf x yx yx yxyf x yx yf xyfxyf xyfxyf xyfxyf xyfx设与均为可微函数,且已知( ,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是D(A)若 ( ,)=0,则 ( ,)=0(B)若 ( ,)=0,则 ( ,)0(C)若 ( ,)0,则 ( ,)=0(D)若 ( ,)0,则 ( ,0000000 0000 000000( , )( , )( , )( , )0(1)( , )( , )0(2)( , )0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0xxxyyyyyx yx yyxyf x yx yfx yx yfx yx yx yfxyfxyxyxyfxyxyxyfxy )0构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0yfxyD则故选三、解答题22 22221212 0222021(15)( , )1,0 ,1:011ln(1)ln21122DDDxyDx y xyxIdxdyxyxydxdyxyrIdxdyddrrxyr 设区域计算二重积分解第 10 页 共 15 页 211112121(16)0,sin(1,2,)(1)lim(2)lim():(1)sin,01,2sin,0,lim,nnnnnnxnnnnnnnnnnnxxxx nxx xxxxnxxxxxxxA 设数列满足求证明存在,并求之计算解因此当时单调减少又有下界，根据准则1,存在 递推公式两边取极限得sin,0AAA21sin(2)lim(),nxnnnx x原式=为“1 “型离散型不能直接用洛必达法则22011sinlimln()0sinlim()tt tttttet先考虑232320 330011( cossin )1 110()0()lim26cossinsin1262limlim2262tttttttttttt tttttt ttteeeee 2(17)( )2xf xxxx将函数展开成的幂极数( )(2)(1)21xABf xxxxx解:2(1)(2)2,32,3AxBxxxAA令11,31,3xBB 令21111111( )3(2)3(1)33 1 ()(1)2f xxxxx 10001111( )( 1)( 1),13233 2nnnnn n nnnxxxx （18）设函数( )(0,)f u在内具有二阶导数，且22Zfxy满足等式22220zz xy（I）验证( )( )0f ufuu第 11 页 共 15 页（II）若(1)0,(1)1ff 求函数( )f u 的表达式证： （I）2222
