2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案

第 1 页 共 13 页2012017 7 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学一试题数学一试题一一、选择题选择题：18 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分，下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中，只有只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）若函数1 cos ( ),0 ,0x f xxax b x 在0x 连续，则（） 。A.1 2ab B.1 2ab C.0ab D.2ab （2）设函数( )f x可导，且( )'( )0f x fx ，则（） 。A.(1)( 1)ffB.(1)( 1)ffC.|(1)| |( 1)ffD.|(1)| |( 1)ff（3）函数22( , , )f x y zx yz在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n r的方向导数为（） 。A.12B.6C.4D.2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线1( )vv t（单位：m/s） ，虚线表示乙的速度曲线2( )vv t，三块阴影部分面积的数值依次为 10， 20， 3， 计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位： s） ， 则 （） 。A.010t B.01520tC.025t D.025t （5）设为 n 维单位列向量，E 为 n 维单位矩阵，则（） 。A.TE不可逆B.TE不可逆C.2TE不可逆D.2TE不可逆第 2 页 共 13 页（6）已知矩阵200210100021 ,020 ,020001001002ABC ，则（） 。A.A 与 C 相似，B 与 C 相似B. A 与 C 相似，B 与 C 不相似C. A 与 C 不相似，B 与 C 相似D. A 与 C 不相似，B 与 C 不相似（7）设 A，B 为随机事件，若0( )1,0( )1P AP B，且(|)(|)P A BP A B的充分必要条件是（） 。A.(|)(|)P B AP B AB.(|)(|)P B AP B AC.(|)(|)P B AP B AD.(|)(|)P B AP B A（8）设12,(2)nXXXn L来自总体( ,1)N的简单随机样本，记11ni iXXn，则下列结论中不正确的是（） 。A.21()ni iX服从2分布B.2 1 12()nn iXX服从2分布C.1()ni iXX服从2分布D.2()n X服从2分布二、填空题：二、填空题：914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。分，请将答案写在答题纸指定位置上。（9）已知函数21( )1f xx，则(3)(0)f=_。（10）微分方程'' 2 ' 30yyy的通解为y=_。（11）若曲线积分221Lxdyaydy xy 在区域22( , )|1Dx yxy内与路径无关，则a=_。（12）幂级数11 1( 1)nn nnx 在区间( 1,1)内的和函数( )S x=_。（13）设矩阵101112011A ，123, 为线性无关的 3 维向量，则向量组123,AAA的秩为_。（14）设随机变量 X 的分布函数为4( )0.5 ( )0.5 ()2xF xx，其中( )x为标准正态分布函数，则EX=_。第 3 页 共 13 页三、解答题：三、解答题： 1523 小题，共小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。文字说明、证明过程或演算步骤。（15） （本题满分 10 分）设函数( , )f u v具有 2 阶连续偏导数，(,cos )xyf ex，求2002|,|xxdyd y dxdx。（16） （本题满分 10 分）求2 1limln(1)nnkkk nn（17） （本题满分 10 分）已知函数( )y x由方程333320xyxy确定，求( )y x的极值。第 4 页 共 13 页（18） （本题满分 10 分）设函数( )f x在区间0,1上具有 2 阶导数，且(1)0f， 0( )lim0 xf x x，证明：（）方程( )0f x 在区间(0,1)内至少存在一个实根；（）方程2( )'( )('( )0f x fxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。（19） （本题满分 10 分）设薄片型物体S时圆锥面22zxy被柱面22zx割下的有限部分， 其上任一点的弧度为222( , , )9u x y zxyz，记圆锥与柱面的交线为C，（）求C在xOy平面上的投影曲线的方程；（）求S的质量M。第 5 页 共 13 页（20） （本题满分 11 分）三阶行列式123(,)A 有 3 个不同的特征值，且3122，（）证明( )2r A ；（）如果123，求方程组Ax的通解。（21） （本题满分 11 分）设222 123123121323( ,)2282f x xxxxaxx xx xx x在正交变换xQy下的标准型为22 1122yy，求a的值及一个正交矩阵Q。第 6 页 共 13 页（22） （本题满分 11 分）设随机变量X和Y相互独立，且X的概率分布为1(0)(2)2P XP X，Y的概率密度为2 ,01( )0,yyf y 其他（）求P YEY；（）求ZXY的概率密度。（23） （本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度， 用该天平对一物体的质量做n次测量， 该物体的质量是已知的，设n次测量结果12,nXXXL相互独立，且均服从正态分布2( ,)N ，该工程师记录的是n次测量的绝对误差|,(1,2, )iiZXinL， 利用12,nZ ZZL估计（）求1Z的概率密度；（）利用一阶矩求的矩估计量；（）求的最大似然估计量。第 7 页 共 13 页2012017 7 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学一试题数学一试题参考答案及解析参考答案及解析1、 【答案】A【解析】由连续的定义可得 -+00lim( )lim( )(0) xxf xf xf ，而+20001()1 cos12lim( )limlim2xxxxxf xaxaxa， -0lim( ) xf xb ， 因此可得1 2ba， 故选择 A。2、 【答案】C【解析】 令2( )( )F xfx， 则有'( )2 ( )'( )F xf x fx，故( )F x单调递增，则(1)( 1)FF，即22 (1) ( 1)ff，即|(1)| |( 1)ff，故选择 C。3、 【答案】D【 解 析 】22,2 gradfxy xz， 因 此代 入(1,2,0)可 得(1,2,0)|4,1,0gradf， 则 有1 2 24,1,0 , 2|3 3 3fugraduu。4、 【答案】C【解析】从 0 到0t时刻，甲乙的位移分别为0 10( )tv t dt与0 20( )tv t dt，由定积分的几何意义可知，25210( )( )20 1010v tv t dt，因此可知025t 。5、 【答案】A【解析】因为T的特征值为 0（n-1 重）和 1，所以TE的特征值为 1（n-1 重）和 0，故TE不可逆。6、 【答案】B【解析】A 和 B 的特征值为 2,2,1，但是 A 有三个线性无关的特征向量，而 B 只有两个，所依 A 可对角化，B 不可，因此选择 B。7、 【答案】A【解析】由(|)(|)P A BP A B得()()( )() ( )1( )( )P ABP ABP AP AB P BP BP B，即()( ) ( )P ABP A P B，因此选择 A。8、 【答案】B第 8 页 共 13 页【 解 析 】(0,1)iXN， 故221() ( )ni iXn，1(0,2)nXXN， 因 此1(0,1)2nXXN，故221() (1)2nXX，故 B 错误，由2211()1ni iSXXn可得，2221(1)() (1)ni inSXXn，1(0,)XNn，则有() (0,1)n XN，因此22() (1)n X。9、 【答案】0【解析】24622 2 001( )1()( 1)1nnnnnf xxxxxxx L，因此230'''( )( 1) 2 (21)(22)nnnfxnnnx ，代入可得(3)(0)0f。10、 【答案】12(cos 2sin2 )xecxcx【解析】由'' 2 ' 30yyy，所以2230，因此21i ，因此通解为：12(cos 2sin2 )xecxcx。11、 【答案】1【解析】设2222( , ),( , )11xayP x yQ x yxyxy，因此可得：22222222,(1)(1)PxyQaxy yxyxxy ，根据PQ yx，因此可得1a 。12、 【答案】21 (1)x【解析】111 2111( 1)( 1)'()'1(1)nnnnnnxnxxxx。13、 【答案】2【解析】因为123123(,)(,)AAAA ，而101101101112011011011011000A ， 因此( )2r A ， 所以向量组123,AAA的秩2。第 9 页 共 13 页14、 【答案】2【解析】222224()2 22(4)22 2111( )'( )0.50.5222110.50.5222x xxxf xF xeeee因此可得2EX 。15、 【答案】' 01|(1,1)xdyfdx，2 '''' 011122|(1,1)(1,1)(1,1)xd yfffdx【解析】因为(,cos )xyf ex，所以'' 12sinxdyf efxdx，因此' 01|(1,1)xdyfdx2 '''''''''' 11121212222(sin )(sin )sincosxxxxd yf efx ef ef efxxfxdx因此得：2 '''' 011122|(1,1)(1,1)(1,1)xd yfffdx16、 【答案】1 4【解析】由定积分的定义可知，1201limln(1)ln(1)nnkkkxx dxnn，然后计算定积分，2111212 0000111ln(1)ln(1) (1)ln(1)|(1)221xxx dxx d xxxdxx1011(1)24xdx 17、 【答案】极大值为(1)1y，极小值为( 1)0y 。【解析】对333320xyxy