2007年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案

2007 年年全国硕士研究生入学统一考试全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷数学数学（一一）试题）试题一一、选择题选择题：110小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 40 分分，下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合只有一个选项符合 题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当0x时，与x等价的无穷小量是()A.1xe1.ln1xBx. 11Cx.1 cosDx(2) 曲线1ln(1)xyex渐近线的条数为(). A0.B1.C2.D3(3) 如图，连续函数( )yf x在区间 3, 2 , 2,3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 2,0 , 0,2上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设 0( )( ) ,xF xf t dt则下列结论正确的是()32-1O1-2-3yx. A(3)F3( 2)4F .B(3)F5(2)4F.C( 3)F 3(2)4F.D( 3)F 5( 2)4F (4) 设函数( )f x在0x 连续，则下列命题错误的是(). A若 0( )lim xf x x存在，则(0)0f.B若 0( )()lim xf xfx x存在，则(0)0f.C若 0( )lim xf x x存在，则(0)f 存在.D若 0( )()lim xf xfx x存在，则(0)f 存在(5) 设函数( )f x在(0,)上具有二阶导数，且( )0fx，令( )(1,2,)nuf n n，则下列结论正确的是(). A若12uu，则 nu必收敛.B若12uu，则 nu必发散.C若12uu，则 nu必收敛.D若12uu，则 nu必发散(6) 设曲线:( , )1L f x y ( , )f x y具有一阶连续偏导数)过第象限内的点M和第 IV 象限内的点N，为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是(). A( , )f x y dx .B( , )f x y dy .C( , )f x y ds .D( , )( , )xyfx y dxfx y dy (7) 设向量组123, 线性无关，则下列向量组线性相关的是()A.122331, B.122331, C.1223312,2,2 D.1223312,2,2 (8) 设矩阵211121112A ，100010000B ，则A与B()A. 合同，且相似B. 合同，但不相似 C. 不合同，但相似D. 既不合同，也不相似(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01),pp则此人第 4 次射击恰好第2次命中目标的概率为()A.23 (1)ppB.26 (1)ppC.223(1)ppD.226(1)pp(10) 设随机变量(, )X Y服从二维正态分布，且X与Y不相关，( ),( )XYfxfy分别表示,X Y的概率密度，则在Yy条件下，X的条件概率密度()X Yfx y为()A.( )XfxB.( )YfyC.( )( )XYfx fyD.( ) ( )XYfx fy二、填空题：二、填空题：11-16 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上.(11)12311xe dxx_(12) 设( , )f u v为二元可微函数，(,),yxzf xy则_z x(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432xyyye的通解为_y (14) 设曲面:1xyz，则()_xy dS (15) 设距阵0 1 0 00 0 1 0,0 0 0 10 0 0 0A 则3A的秩为(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于1 2的概率为三三、解答题解答题：1724 小题小题，共共 86 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明证明 过程或演算步骤过程或演算步骤. (17)(本题满分 10 分)求函数2222( , )2,f x yxyx y在区域22( , )4,0Dx y xyy上的最大值和最小值.(18)(本题满分 11 分)计算曲面积分23,Ixzdydzzydzdxxydxdy其中为曲面2 21(01)4yzxz 的上侧.(19)(本题满分 11 分)设函数( )f x，( )g x在, a b上连续，在( , )a b内二阶可导且存在相等的最大值，又( )f a( )g a，( )f b( )g b，证明：存在( , ),a b使得''( )''( ).fg(20)(本题满分 10 分)设幂级数0n n na x在(,) 内收敛，其和函数( )y x满足240, (0)0,(0)1yxyyyy(I) 证明22,1,2,1nnaa nn(II) 求( )y x的表达式(21)(本题满分 11 分)设线性方程组1231232 12302040xxxxxaxxxa x (1)与方程12321xxxa(2)有公共解，求a得值及所有公共解.(22)(本题满分 11 分)设 3 阶实对称矩阵A的特征值12311,2,2,(1, 1,1)T 是A的属于1的一个特征向量,记534BAAE，其中E为 3 阶单位矩阵.(I) 验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵B.(23)(本题满分 11 分)设二维随机变量(, )X Y的概率密度为2,01,01.( , )0,xyxyf x y 其他(I) 求2P XY；(II) 求ZXY的概率密度( )Zfz.(24)(本题满分 11 分)设总体X的概率密度为1,0,2 1( ; ),1,2(1)0,xf xx 其他.其中参数(01)未知，12,.nXXX是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.(I) 求参数的矩估计量；(II) 判断24X是否为2的无偏估计量，并说明理由.2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题一、选择题 (1)【答案】B 【详解】方法方法 1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当0x 时，11; 11;2xexxx2 221 cos2sin2( ),222xxxx当0x时，此时0x ，所以11(); 11;2xexxx211 cos() ,2xx可以排除A、C、D，所以选(B).方法方法 2：1ln1xx1ln1xxxxln11xxx当当0x时，11x，01xxx，又因为0x 时，ln 1xx，所以ln11 11xxxxxxxxxxx，选(B).方法方法 3： 0001111ln()ln()()1111limlimlim1 2xxxxxxx xxxx xx x 洛20011112 11221 limlim111 2xxxxxx xxxxxxx x 设2211111xxxAB xxxx ，则11422AxBxxxx x对应系数相等得：2,1Ax B，所以原式0022121limlim1111xxxxxx xxxx 0021limlim0 111xxx xx1，选(B).(2)【答案】D【详解】因为 001limlimln(1)xxxyex001limlimln(1)xxxex ，所以0x 是一条铅直渐近线；因为1limlimln(1)xxxyex-1limlim ln(1)000xxxex ，所以0y 是沿x 方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)limlimlimx xxxxeyexaxxxx21ln(1)limlimxxxe xx10lim11xxxe e 洛必达法则令1limlimln(1)xxxbya xexx1limlim ln(1)xxxexxln0lim ln(1)lnxxxxxeee 1lim ln()xxxe elim ln(1)ln10xxe 所以yx是曲线的斜渐近线，所以共有 3 条，选择(D)(3)【答案】C【详解】由题给条件知，( )f x为x的奇函数，则()( )fxf x ，由 0( )( ) ,xF xf t dt知000()( )() ()()( )( )( )xxxFxf t dttufu dufuf uf u duF x 令因为，故( )F x为x的偶函数，所以( 3)(3)FF.而20(2)( )Ff t dt表示半径1R 的半圆的面积，所以220(2)( )22RFf t dt，323002(3)( )( )( )Ff t dtf t dtf t dt，其中32( )f t dt表示半径1 2r 的半圆的面积的负值，所以22321( )2228rf t dt 所以2302333(3)( )( )(2)2884 24Ff t dtf t dtF所以3( 3)(3)(2)4FFF，选择 C(4)【答案】( D) 【详解】方法方法 1：论证法，证明. .ABC都正确，从而只有.D不正确.由 0( )lim xf x x存在及( )f x在0x 处连续，所以0(0)lim( ) xff x 0000( )( )( )lim()limlim0 lim xxxxf xf xf xxxxxx 0，所以(A)正确；由 选 项 (A) 知 ，(0)0f， 所 以 00( )(0)( )limlim0xxf xff x xx存 在 ， 根 据 导 数 定 义 ，0( )(0)'(0)lim0xf xffx存在，所以(C)也正确；由( )f x在0x 处连续，所以()fx在0x 处连续，从而000lim( )()lim( )lim()(0)(0)2 (0) xxxf xfxf xfxfff 所以 0000( )()( )()( )()2 (0)limlimlim0 lim0 xxxxf xfxf xfxf xfxfxxxxx 即有(0)0f.所以(B)正确，故此题选择(D).方法方法 2：举例法，举例说明(D)不正确. 例如取