1999年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案

第 1 页 共 20 页19991999 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题卷真题卷数学数学( (一一) )试题试题一、填空题一、填空题(本题共本题共5个小题，每小题个小题，每小题3分，满分分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。分。把正确答案填写在题中横线上。)(1)2011limtanxxxx(2)20sin()xdxt dtdx(3)2“ 4xyye的通解为y (4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n个特征值是 (5) 设两两相互独立的三事件A, B 和C 满足条件： 1, ( )( )( ),2ABCP AP BP C9(),16P ABC则( )P A 二二、选择题选择题(本题共本题共5小题小题，每小题每小题3分分，满分满分15分分。每小题给出得四个选项中每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要只有一个是符合题目要 求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。) (1)设( )f x是连续函数，( )F x是( )f x的原函数，则 ()(A) 当( )f x是奇函数时，( )F x必是偶函数。(B) 当( )f x是偶函数时，( )F x必是奇函数。(C) 当( )f x是周期函数时，( )F x必是周期函数。(D) 当( )f x是单调增函数时，( )F x必是单调增函数。(2)设21 cos,0( )( ),0xxf xxx g x x 其中( )g x是有界函数，则( )f x在0x 处 ()(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续 (C)连续，但不可导(D)可导(3) 设011,02( ), ( )cos,1222 ,12n nxxaf xS xan xx xx 其中102( )cos,(0,1,2,),naf xn xdx n则5 2S等于 ()(A)1 2(B)1 2(C)3 4(D)3 4(4)设A 是m n矩阵， B 是n m矩阵，则 ()第 2 页 共 20 页(A)当mn时，必有行列式AB0(B)当mn时，必有行列式AB0(C)当nm时，必有行列式AB0(D)当nm时，必有行列式AB0(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则 ()(A)10.2P XY(B)1P X+Y1.2(C)1P X-Y0.2(D)1P X-Y1.2三、三、(本题满分本题满分5分分) 设( )yy x，( )zz x是由方程()zxf xy和( , , )F x y z=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz dx。四、四、(本题满分本题满分5分分)求sin()cos,xxLIeyb xy dxeyax dy其中a,b 为正常数， L 为从点A2a,0沿曲线2y= 2-ax x到点O(0,0)的弧.第 3 页 共 20 页五、五、 (本题满分本题满分6分分)设函数 0y xx 二阶可导，且 0yx， 01y.过曲线 yy x上任意一点,P x y 作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为1S，区间0, x 上以 yy x为曲边的曲边梯形面积记为2S，并设122SS恒为 1，求此曲线 yy x的方程.六、六、(本题满分本题满分6分分)试证：当0x 时，221 ln1 .xxx第 4 页 共 20 页七、七、(本题满分本题满分6分分) 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已知井深30m30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N，抓斗抓 起的污泥重2000N，提升速度为3/m s,在提升过程中，污泥以20/N s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：111 ;NmJ其中, ,m N s J分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.)八、八、(本题满分本题满分7分分)设S 为椭球面22 2122xyz的上半部分， 点P( , , )x y zS,为S 在点P 处的切平面，( , , )x y z为点O(0,0,0)到平面的距离，求.( , , )SzdSx y z第 5 页 共 20 页九、九、(本题满分本题满分7分分)设4 0tan,n naxdx (1) 求2 11nn naan 的值；(2) 试证：对任意的常数>0, 级数1nna n收敛十、十、(本题满分本题满分8分分)设矩阵153,10acAbca 其行列式1,A 又A 的伴随矩阵*A有一个特征值0，属于0的一个特征向量为( 1, 1,1) ,T 求, ,a b c和0的值.第 6 页 共 20 页十一、十一、(本题满分本题满分6分分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，TB为B的转置矩阵，试证：TB AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩 r Bn.十二、十二、(本题满分本题满分8分分)设随机变量X 与Y 相互独立， 下表列出了二维随机变量X,Y联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.Y X1y2y3yiiP Xxp1x1 82x1 8 jjP Yyp1 61第 7 页 共 20 页十三、十三、(本题满分本题满分6分分) 设总体X 的概率密度为36(),0( ) 0, xxxf x 其他12,nXXX是取自总体X 的简单随机样本.(1) 求的矩估计量(2) 求的方差 .D第 8 页 共 20 页19991999 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题卷真题卷数学数学( (一一) )试题参考答案及解析试题参考答案及解析一、填空题一、填空题(本题共本题共5个小题，每小题个小题，每小题3分，满分分，满分15分分.把正确答案填写在题中横线上把正确答案填写在题中横线上.)(1)【答案】1.3【分析】利用0x 的等价变换和洛必达法则求函数极限.【详解】方法方法1：22300011tantanlimlimtanlimtantanxxxxxxxxxxxxxxx220sec1lim3xx x洛220tanlim3xx x2201tanlim33xxxxx方法方法2：222000111cossincoslimlimlimtansinsinxxxxxxx xxxxxxxx3200sincoscoscossinsinlimlim3xxxxxxxxxxxxx洛 0sin1lim33xx x(2)【答案】2sin x【分析】欲求( , )badx t dtdx，唯一的办法是作变换，使含有( , )x t中的x“转移”到之外【详解】令uxt，则dtdu ，所以有0220sin()sinxxddxt dtu dudxdx220sinsinxdu duxdx(3)【答案】22 121,4xxyC eCx e其中12,C C为任意常数.【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程“ 40yy的特征方程为：240,解得122,2 ，故“ 40yy的通解为22 112,xxyC eC e由于非齐次项为2( ),xf xe因此原方程的特解可设为*2,xyAxe代入原方程可求得1 4A ，故所求通解为*22 1121 4xxyyyC eCx e(4)【详解】因为第 9 页 共 20 页EA11.111 .1.11.1 (对应元素相减)两边取行列式，11.111 .1.11.1EA1.121 .1.11.1nnnn把第 ， ， 列加到第 列11.1111 .1().11.1n提取第 列的公因子2111 .10.031().00.1nn行行行行行行-1()nn令-1()0nEAn，得12(10(1)nn重)，重)，故矩阵A的n个特征值是n和0( -1)n重)(5)【答案】1 4【详解】根据加法公式有()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ACP ABP BCP ABC因为( )( )( )P AP BP C，设( )( )( )P AP BP Cp由于, ,A B C两两相互独立，所以有2()( ) ( )P ABP A P Bppp，2()( ) ( )P ACP A P Cppp，2()( ) ( )P BCP B P Cppp，又由于ABC ，因此有()()0,P ABCP 所以()( )( )( )()()()()P ABCP AP BP CP ACP ABP BCP ABC2220pppppp233pp又9()16P ABC ，从而29()3316P ABCpp，则有2933016pp23016pp，解得31 44p 或p因1( )( )( )2P AP BP Cp，故1 4p ，即1( )4P A 第 10 页 共 20 页二、选择题二、选择题(1)【答案】( A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.( )f x的原函数( )F x可以表示为 0( )( ),xF xf t dtC于是00()( )().utxxFxf t dtCfu duC当( )f x为奇函数时，()( )fuf u ，从而有00()( )( )( )xxFxf u duCf t dtCF x即F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2( )f xx是偶函数，但其原函数31( )13F xx不是奇函数，可排除(B)；2( )cosf xx是周期函数，但其原函数11( )sin224F xxx不是周期函数，可排除(C)；( )f xx在区间(,) 内是单调增函数，但其原函数21( )2F xx在区间(,) 内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】( D )【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.因为20001 ( )(0)1 cos2(0)limlimlim0,0xxxxf xfxfxx xx x2000( )(0)( )(0)limlimlim( )0,0xxxf xfx g xfxg xxx从而，(0)f 存在，且(0)0f ，故正确选项为(D).(3)【答案】( C )【详解】由题设知，应先将( )f x从0,1)作偶延拓，使之成为区间1,1