2008年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案
第 1 页 共 19 页2008 年年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 数学（一）试题数学（一）试题（含（含参考答案参考答案）一一、选择题选择题：(本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分. 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中，只有一项符合题只有一项符合题 目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）设函数20( )ln(2)xf xt dt，则( )fx的零点个数为（）(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D) 3【答案答案】应选(B).【详解详解】22( )ln(2) 22 ln(2)fxxxxx显然( )fx在区间(,) 上连续，且( 1)(1)( 2ln3) (2ln3)0ff ，由零点定理，知( )fx至少有一个零点又2 2 24( )2ln(2)02xfxxx，恒大于零，所以( )fx在(,) 上是单调递增的又因为(0)0f ，根据其单调性可知，( )fx至多有一个零点故( )fx有且只有一个零点故应选(B).（2）函数( , )arctanxf x yy在点(0,1)处的梯度等于（）(A)i(B)i.(C)j.(D)j.【答案答案】 应选(A).【详解详解】因为222211fyy xxxy y222221x fxy xyxy y所以(0,1)1f x，(0,1)0f y，于是(0,1)( , )igradf x y.故应选(A).第 2 页 共 19 页（3）在下列微分方程中，以123cos2sin2xyC eCxCx（123,C C C为任意的常数）为通解的是（）(A)440yyyy.(B)440yyyy.(C)440yyyy.(D)440yyyy.【答案答案】 应选(D).【详解详解】由123cos2sin2xyC eCxCx，可知其特征根为，可知其特征根为11 ，2,32i ，故对应的特征值方程为2(1)(2 )(2 )(1)(4)ii3244 3244 所以所求微分方程为440yyyy 应选(D).（4）设函数( )f x在(,) 内单调有界，nx为数列，下列命题正确的是（） (A) 若nx收敛，则 ()nf x收敛(B) 若nx单调，则 ()nf x收敛(C) 若 ()nf x收敛，则nx收敛.(D) 若 ()nf x单调，则nx收敛.【答案答案】 应选(B).【详解】若nx单调，则由函数( )f x在(,) 内单调有界知，若 ()nf x单调有界，因此若 ()nf x收敛故应选(B).（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵若30A ，则（）则下列结论正确的是：(A)EA不可逆，则EA不可逆.(B)EA不可逆，则EA可逆. (C)EA可逆，则EA可逆.(D)EA可逆，则EA不可逆.【答案答案】应选(C). 【详解详解】故应选(C).23()()EA EAAEAE，23()()EA EAAEAE故EA，EA均可逆故应选(C).第 3 页 共 19 页（6）设A为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程1xxyz A yz 在正交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特征值个数为（）(A)0.(B) 1.(C) 2.(D) 3.【答案答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221xyz ac 故A的正特征值个数为 1故应选(B).（7） 设随机变量,X Y独立同分布且X的分布函数为( )F x，则max, ZX Y 的分布函数为（）(A)2( )Fx.(B)( ) ( )F x F y. (C)211( )F x . (D)1( )1( )F xF y.【答案】应选(A)【详解】 ( )max, F zP ZzPX Yz 2( ) ( )( )P Xz P YzF z F zFz 故应选(A)（8）设随机变量XN(0,1) ,(1,4)YN , 且相关系数1XY ，则（）(A)211P YX (B)211P YX (C)211P YX (D)211P YX 【答案】应选 (D)【详解】用排除法设YaXb 由1XY ，知X，Y正相关，得0a 排除（A）和（C） 由(0,1)XN ，(1,4)YN ，得0,1,()EXEYE aXbaEXb 10ab ，1b 从而排除(B).故应选 (D)第 4 页 共 19 页二、填空题二、填空题：(914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.)（9）微分方程）微分方程0xyy满足条件(1)1y的解是y .【答案答案】 应填1yx【详解详解】由dyy dxx ，得dydx yx 两边积分，得ln |ln |yxC 代入条件(1)1y，得0C 所以1yx（10）曲线sin()ln()xyyxx在点(0,1)的切线方程为.【答案答案】 应填1yx【详解详解】设( , )sin()ln()F x yxyyxx，则1( , )cos()1xF x yyxyyx，1( , )cos()xF x yxxyyx，(0,1)1xF ，(0,1)1yF于是斜率(0,1)1 (0,1)xyFk F 故所求得切线方程为1yx（11） 已知幂级数0(2)nn nax在0x 处收敛， 在4x 处发散， 则幂级数0(2)nn nax的收敛域为.【答案答案】(1,5【详解】由题意，知0(2)nn nax的收敛域为( 4,0，则0n n na x的收敛域为( 2,2所以0(2)nn nax的收敛域为(1,5(12)设曲面是224zxy的上侧，则2xydydzxdzdxx dxdy .【答案答案】4【详解详解】作辅助面1:0z取下侧则由高斯公式，有第 5 页 共 19 页2xydydzxdzdxx dxdy 122xydydzxdzdxx dxdyxydydzxdzdxx dxdy 2224xyydVx dxdy 2222410()2xyxydxdy drrdr22200116424 (13) 设A为 2 阶矩阵，12, 为线性无关的 2 维列向量，10A ，2122A则A的非零特征值为_.【答案答案】应填 1【详解详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01AAA 记12(,)P ，因12, 线性无关，故12(,)P 是可逆矩阵因此02 01APP ，从而102 01P AP 记02 01B ，则A与B相似，从而有相同的特征值因为2|(1)01EB ，0 ，1 故A的非零特征值为 1(14) 设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布，则 2P XEX _【答案答案】应填1 2e.【详解详解】因为X服从参数为 1 的泊松分布，所以1EXDX 从而由22()DXEXEX得22EX 故 22P XEXP X 1 2e第 6 页 共 19 页三、解答题三、解答题：(1523 小题，共 94 分. )(15)(本题满分本题满分 10 分分)求极限 40sinsin(sin ) sinlim xxxx x 【详解 1】 40sinsin(sin ) sinlim xxxx x 30sinsin(sin )lim xxx x 20coscos(sin )coslim3xxxx x 201cos(sin )lim3xx x 0sin(sin )coslim6xxx x (或2201(sin )2lim3xxx ，或22201sin(sin)2lim3xxoxx )1 6 【详解 2】 40sinsin(sin ) sinlim xxxx x 40sinsin(sin ) sinlimsinxxxx x 30sinlim ttt t 201coslim3tt t 2202lim3ttt （或 0sinlim6tt t ）1 6 （16）(本题满分本题满分 9 分分)计算曲线积分2sin22(1) Lxdxxydy，其中L是曲线sinyx上从(0,0)到( ,0)的一段第 7 页 共 19 页【详解 1】按曲线积分的计算公式直接计算2sin22(1) Lxdxxydy20sin22(1)sin cos xdxxxx dx20sin2xxdx20 0cos2cos22xxxxdx 20cos22xxdx 200sin2sin2 222xxxdx 22 【详解 2】添加辅助线，按照 Green 公式进行计算设1L为x轴上从点( ,0)到(0,0)的直线段D是1L与 L 围成的区域12sin22(1) L Lxdxxydy 2(2(1)sin2Dxyxdxdyxy 4Dxydxdy sin004xxydydx 202 sinxxdx 0(1 cos2 )xx dx 20 0cos22xxxdx 200sin2sin2 222xxxdx 22 因为102sin22(1)sin20 Lxdxxydyxdx 故2sin22(1) Lxdxxydy22 【详解 3】令2sin22(1) LIxdxxydy2 12sin222 Lxdxydyx ydyII对于1I，记sin2 ,2PxQy 因为0PP yx，故1I与积分
