2013年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案
第 1 页 共 12 页20132013 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学一试题数学一试题一一、选择题选择题：18 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分，下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中，只有只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（1）已知极限 0arctanlimkxxxcx，其中, c k为常数，且0c ，则（）（A）12,2kc （B）12,2kc（C）13,3kc （D）13,3kc（2）曲面2cos()0xxyyzx在点(0,1, 1)处的切平面方程为（）（A）2xyz （B）2xyz（C）23xyz （D）0xyz（3） 设1( )2f xx，102( )sin(1,2,.)nbf xn xdx n， 令1( )sinn nS xbn x， 则9()4S （）（A）3 4（B）1 4（C）1 4（D）3 4（4）设22222222 1234:1,:2,:22,:22,lxylxylxylxy为四条逆时针的平面曲线，记33 ()(2)(1,2,3,4)63 ii lyxIydxxdy i ，则( )iMAX I（）（A）1I（B）2I（C）3I（D）3I（5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若,BABC则 可逆，则（）（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价（6）矩阵1111aabaa 与2000b0000 相似的充分必要条件为（）第 2 页 共 12 页（A）a0,b2（B）为任意常数ba, 0（C）0, 2ba（D）为任意常数ba, 2（7）设123XXX，是随机变量，且22 123N(0,1)N(5,3 )XN，X0,2 ），X, 22(1,2,3),jjPPXj 则（）（A）123PPP（B）213PPP（C）312PPP（D）132PPP（ 8 ） 设 随 机 变 量 ( ),(1, ),Xt n YFn给 定(00.5),aa常 数 c 满 足P Xca, 则2P Yc（）（A）（B）1（C）2（D）1 2二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.(9)设函数( )f x由方程(1)xyyxe确定，则1lim ( ( ) 1) nn fn(10)已知32 1xxyexe，2 2xxyexe，2 3xyxe 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解， 该方程的通解为y (11)设sinsincosxtyttt （t为参数） ，则22 4td y dx(12)21ln (1)xdxx（13）设ijA(a )是三阶非零矩阵，|A|为 A 的行列式，ijA为ija的代数余子式，若ijijaA0(i, j1,2,3),_A则（ 14 ） 设 随 机 变 量 Y 服 从 参 数 为 1 的 指 数 分 布 ,a为 常 数 且 大 于 零 ， 则1|P YaYa_。第 3 页 共 12 页三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分（本题满分 10 分）计算分）计算10( ),f xdxx其中其中 1ln(1)( )xtf xdtt（16） （本题满分（本题满分 10 分）设数列分）设数列na满足条件：满足条件：0123,1,(1)0(2),nnaaan nan( )S x是幂级数是幂级数0n n na x的和函数，的和函数，（）证明：）证明：( )( )0SxS x,（）求求( )S x的表达式的表达式.（17） （本题满分（本题满分 10 分）求函数分）求函数3 ( , )()3x yxf x yye的极值的极值.第 4 页 共 12 页（18） （本题满分（本题满分 10 分）设奇函数分）设奇函数( )f x 在-1,1上具有上具有 2 阶导数，且阶导数，且(1)1,f证明：证明：（）存在）存在(0,1),'( )1f使得； （）存在存在1,1 ，使得，使得''( )'( )1ff（19） （本题满分（本题满分 10 分）设直线分）设直线 L 过过(1,0,0), (0,1,1)AB两点，将两点，将 L 绕绕 Z 轴旋转一周得到轴旋转一周得到曲面曲面, 与平面0,2zz所围成的立体为所围成的立体为，（）求曲面）求曲面的方程的方程（）求求的形心坐标的形心坐标.（20） （本题满分本题满分 11 分）分）设设101,101aABb，当，当, a b为何值时，存在矩阵为何值时，存在矩阵C使得使得ACCAB， 并求所有矩阵并求所有矩阵C.第 5 页 共 12 页（21） （本题满分本题满分 11 分分）设二次型设二次型22 1231 122331 12233,2f x xxa xa xa xb xb xb x，记记112233,ab ab ab .（I）证明二次型）证明二次型f对应的矩阵为对应的矩阵为2TT ；（II）若）若, 正交且均为单位向量，证明二次型正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型在正交变化下的标准形为二次型22 122yy.（22） （本题满分（本题满分 11 分）分）设随机变量的概率密度为设随机变量的概率密度为2103( )4 0xxf x 其他，令随机变量，令随机变量211212xYxxx ,（I）求）求 Y 的分布函数；的分布函数；（II）求概率）求概率P XY第 6 页 共 12 页（23） （本题满分（本题满分 11 分）设总体分）设总体X的概率密度为的概率密度为 23,0,0,.xexf xx 其它其中其中为未知参数且为未知参数且大于零，大于零，12,NXXX，为来自总体为来自总体X的简单随机样本的简单随机样本.（1）求）求的矩估计量；的矩估计量；（2）求）求的最大似然估计量的最大似然估计量.第 7 页 共 12 页20132013 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学一试题数学一试题参考答案及解析参考答案及解析一、选择题：一、选择题：（1） 【答案】D【解析】33300011()arctan133limlimlim,3,3kkkxxxxxxo xxxxckcxxx（2） 【答案】A【解析】设2( , , )cos()F x y zxxyyzx，则( , , )2sin() 1(0,1, 1)1xxF x y zxyxyF ；( , , )sin()(0,1, 1)1yyF x y zxxyzF ；( , , )(0,1, 1)1zzF x y zyF，所以该曲面在点(0,1, 1)处的切平面方程为(1)(1)0xyz，化简得2xyz .（3） 【答案】C【解析】【解析】根据题意，将函数在 1,1上奇延拓1,012( )1,102xx f x xx ，它的傅里叶级数为( )S x它是以 2 为周期的， 则当( 1,1)x 且( )f x在x处连续时，( )( )S xf x，因此，991111()(2)()( )( )444444SSSSf .（4） 【答案】D【解析】33 ()(2)(1,2,3,4)63 ii lyxIydxxdy i 2 2(1)2 iDyxdxdy利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域14,D D上函数为正值，则区域大，积分大，所以41II，在4D之外函数值为负，因此4243,IIII，故选 D。（5） 【答案】 （B） 【解析】由ABC 可知 C 的列向量组可以由 A 的列向量组线性表示，又 B 可逆， 故1 CBA，从而 A 的列向量组也可以由 C 的列向量组线性表示，根据向量组等价的定义知选项为（B）.（6） 【答案】(B)【解析】由于1111aabaa 为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，第 8 页 共 12 页从而1111aabaa 与2000b0000 相似的充分必要条件为1111aabaa 的特征值为0 , 2 b.又211()(2)211aEAababaa ，从而为任意常数ba, 0.（7） 【答案】 （A） 【解析】由22 1230,1 ,0,2,5,3XNXNXN知， 111222221pPXP X ， 222222211pPXP X ，故12pp.由根据2 35,3XN及概率密度的对称性知，123ppp，故选（A）（8） 【答案】 （C） 【解析】由 ( ),(1, )Xt n YFn得，2YX，故2222P YcP XcP XcXca 或.二、填空题二、填空题(9(91414 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分请将答案写在分请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上) )(9)【答案】1【解析】 01( ) 1lim ( ( ) 1)lim(0) nxf xn ffnx由(1)xyyxe，当0x 时，1y ， 方程两边取对数ln()(1)yxxy两边同时对x求导，得11(1)yyxyyx，将0x ，1y 代入上式，得(0)1f (10)【答案】32 12xxxyC eC exe【解析】因32 1xxyexe，2 2xxyexe是非齐次线性线性微分方程的解，则3 12xxyyee是它所对应的齐次线性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为3 12xx pyC eC e，因此该方程的通解可写为32 12xxxyC eC exe(11)【答案】2【解析】sincossincos ,cosdydxtttttttdtdt，cos cosdytttdxt，() 1dyddx dt，所以221 cosd y dxt，所以22 42 td y dx(12)【答案】ln2【解析】12111ln1ln1ln()(1)11(1)xxdxxddxxxxxx第 9 页 共 12 页11
