2004年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案
第 1 页 共 26 页20042004 年年全国硕士研究生入学统一考试全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学数学( (一一) )试卷试卷一一、 填空题填空题( (本题共本题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 2424 分分. .把答案填在题中横把答案填在题中横线上线上) )(1)曲线lnyx上与直线1 yx垂直的切线方程为_ .(2)已知(e )exxfx,且(1)0f,则( )f x=_ .(3)设L为正向圆周222 yx在第一象限中的部分,则曲线积分 Lydxxdy2的值为_.(4)欧拉方程)0(02422 2xydxdyxdxydx的通解为_ .(5)设矩阵210120001 A,矩阵B满足*2ABABAE,其中*A为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则B=_ .(6) 设 随 机 变 量X服 从 参 数 为的 指 数 分 布 , 则DXXP=_ .二二、 选择题选择题( (本题共本题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,满分满分 3232 分分. .每小题给出的四个每小题给出的四个选项中选项中, ,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内) )(7)把 0x时的无穷小量dttdttdttxxx 03002sin,tan,cos2 ,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是( () )(A),(B),(C),(D),第 2 页 共 26 页(8)设函数( )f x连续,且, 0)0( f则存在0,使得( () )(A)( )f x在(0,)内单调增加(B)( )f x在)0 ,(内单调减少(C)对任意的), 0(x有( )(0)f xf(D)对任意的)0 ,(x有( )(0)f xf(9)设1nna为正项级数,下列结论中正确的是( () )(A)若nnna lim=0,则级数1nna收敛(B)若存在非零常数,使得 nnnalim,则级数1nna发散(C)若级数1nna收敛,则0lim2 nnan(D)若级数1nna发散, 则存在非零常数,使得 nnnalim(10)设( )f x为连续函数,ttydxxfdytF 1)()(,则)2(F等于( () )(A)2 (2)f(B)(2)f(C)(2)f(D) 0(11)设A是 3 阶方阵,将A的第 1 列与第 2 列交换得B,再把B的第 2 列加到第 3 列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为( () )(A) 101001010 (B) 100101010(C) 110001010 (D) 100001110(12)设,A B为满足ABO的任意两个非零矩阵,则必有( () )(A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关第 3 页 共 26 页(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关(13)设随机变量X服从正态分布(0,1),N对给定的) 10(,数u满足uXP,若 xXP,则x等于( () )(A)2u(B)21u(C)21u(D)1u(14)设随机变量) 1(,21nXXXn独立同分布,且其方差为. 02令 niiXnY11,则( () )(A)21Cov(, )X Yn(B)2 1Cov(, )X Y(C)2 12)(nnYXD(D)2 11)(nnYXD三、解答题三、解答题( (本题共本题共 9 9 小题小题, ,满分满分 9494 分分. .解答应写出文字说明、证明过解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤) )(15)(本题满分 12 分)设2eeab,证明22 24lnln()ebaba.第 4 页 共 26 页(16)(本题满分 11 分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100 . 66k问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分 12 分)计 算 曲 面 积 分,) 1(322233dxdyzdzdxydydzxI 其 中是 曲 面)0(122zyxz的上侧.第 5 页 共 26 页(18)(本题满分 11 分)设有方程10nxnx ,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根nx,并证明当1时,级数1n nx收敛.(19)(本题满分 12 分)设( , )zz x y是由2226102180xxyyyzz确定的函数,求( , )zz x y的极值点和极值.第 6 页 共 26 页(20)(本题满分 9 分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna xxxxa xxnnxnxna x 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分 9 分)设矩阵12314315a A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.第 7 页 共 26 页(22)(本题满分 9 分)设,A B为随机事件,且111( ),(|),(|)432P AP B AP A B,令;, , 0, 1不发生发生AAX ., , 0, 1不发生发生BBY 求:(1)二维随机变量(, )X Y的概率分布.(2)X和Y的相关系数.XY第 8 页 共 26 页(23)(23)(本题满分本题满分 9 9 分分) )设总体设总体X的分布函数为的分布函数为, 1, 1, 0,11),(xx xxF其中未知参数nXXX, 121为来自总体X的简单随机样本,求:(1)的矩估计量.(2)的最大似然估计量第 9 页 共 26 页2002004 4年年全国硕士研究生入学统一考试全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学数学( (一一) )试卷试卷参考答案参考答案一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线 y=lnx 上与直线1 yx垂直的切线方程为1 xy.【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切 点的坐标。【详解】 由11)(lnxxy，得 x=1, 可见切点为)0 , 1 (，于是所求的切线方程为) 1(10xy， 即1 xy.【评注】 本题也可先设切点为)ln,(00xx，曲线 y=lnx 过此切点的导数为1100 xy xx，得10x，由此可知所求切线方程为) 1(10xy， 即1 xy.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知xxxeef)(，且 f(1)=0, 则 f(x)=2)(ln21x.【分析】 先求出)(xf 的表达式，再积分即可。【详解】 令tex，则txln，于是有tttfln)(， 即.ln)(xxxf积分得Cxdxxxxf2)(ln21ln)(. 利用初始条件 f(1)=0, 得 C=0，故所求函数为f(x)=2)(ln21x.【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。 完全类似的例题见数学复习指南P89 第 8 题, P90 第 11 题.（3）设L为正向圆周222 yx在第一象限中的部分，则曲线积分 Lydxxdy2的值为23.【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。第 10 页 共 26 页【详解】正向圆周222 yx在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin2,cos2 yx于是 dydxxdy Lsin2sin22cos2cos222 0=.23sin22 02 d【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线 段上用参数法化为定积分计算即可. 完全类似例题见数学题型集粹与练习题集P143 例 10.11， 考研数学大串讲P122 例 5、 例 7 .（4）欧拉方程)0(02422 2xydxdyxdxydx的通解为221 xc xcy.【分析】欧拉方程的求解有固定方法， 作变量代换tex 化为常系数线性齐次微分方程即可。【详解】令tex ，则dtdy xdtdyedxdt dtdy dxdyt1，11122222222dtdy dtyd xdxdt dtyd xdtdy xdxyd，代入原方程，整理得02322 ydtdy dtyd，解此方程，得通解为.2212 21xc xcececytt【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令tex ，则欧拉方程)(22 2xfcydxdybxdxydax，可化为).(22 tefcydtdybdtdy dtyda完全类似的例题见 数学复习指南 P171 例 6.19,数学题型集粹与练习题集 P342 第六题.， 考研数学大串讲P75 例 12.第 11 页 共 26 页（5）设矩阵 100021012A，矩阵 B 满足EBAABA*2，其中*A为 A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B91.【分析】 可先用公式EAAA*进行化简【详解】已知等式两边同时右乘 A，得AABAAABA*2，而3A，于是有ABAB 63，即ABEA)63(，再两边取行列式，有363ABEA，而2763 EA，故所求行列式为.91B【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A，一般均应先利用公式EAAAAA*进行化简。完全类似例题见数学最后冲刺P107 例 2，P118 例 9（6）设随机变量 X 服从参数为的指数分布，则DXXP=e1.【分析】已知连续型随机变量 X 的分布， 求其满足一定条件的概率， 转化为定积分计算即可。【详解】由题设，知21 DX，于是DXXP=dxeXPx11=.1 1eex【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征， 而不应在考试时再去推算。 完全类似例题见数学一临考演习P35 第 5 题.二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把 0x时的无穷小量dttdttdttxxx 03002sin,tan,cos2 ，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A),.(B),.(C),.(D),.B【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.第 12 页 共 26 页【详解】0cos2ta
