2000年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案
第 1 页 共 13 页20002000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学数学( (一一) )试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)1202xx dx=_.(2)曲面2222321xyz在点(1, 2, 2)的法线方程为_.(3)微分方程30xyy的通解为_.(4)已知方程组12312112323120xaxax 无解,则a= _.(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1 9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则( )P A=_.二二、 选择题选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目只有一个符合题目 要求要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设( )f x、( )g x是恒大于零的可导函数,且( ) ( )( )( )0fx g xf x g x,则当axb时,有(A)( ) ( )( ) ( )f x g bf b g x(B)( ) ( )( ) ( )f x g af a g x(C)( ) ( )( ) ( )f x g xf b g b(D)( ) ( )( ) ( )f x g xf a g a(2)设2222 1:(0),S xyzazS为S在第一卦限中的部分,则有(A)14SSxdSxdS(B)14SSydSxdS(C)14SSzdSxdS(D)14SSxyzdSxyzdS(3)设级数1n nu收敛,则必收敛的级数为(A)1( 1)nnnu n(B)21n nu(C)212 1()nn nuu (D)1 1()nn nuu 第 2 页 共 13 页(4)设n维列向量组1,()mmn线性无关,则n维列向量组1,m线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,m可由向量组1,m线性表示(B)向量组1,m可由向量组1,m线性表示(C)向量组1,m与向量组1,m等价(D)矩阵1(,)mA与矩阵1(,)mB等价(5)设二维随机变量(, )X Y服从二维正态分布,则随机变量XY与XY不相关的充分必要条件为(A)()( )E XE Y(B)2222() ()() ( )E XE XE YE Y(C)22()()E XE Y(D)2222() ()() ( )E XE XE YE Y三、三、(本题满分本题满分 6 分分)求142esinlim(). 1exx xx x 四、四、(本题满分本题满分 5 分分)设(,)( )xxzf xygyy,其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求2 .z x y 第 3 页 共 13 页五、五、(本题满分本题满分 6 分分)计算曲线积分224LxdyydxIxy ,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(1),R 取逆时针方向.六、六、(本题满分本题满分 7 分分)设对于半空间0x 内任意的光滑有向封闭曲面,S都有2( )( )e0,xSxf x dydzxyf x dzdxzdxdy 其中函数( )f x在(0,)内具有连续的一阶导数,且0lim( )1, xf x 求( )f x.七、七、(本题满分本题满分 6 分分)求幂级数11 3( 2)nnn nx n 的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.第 4 页 共 13 页八、八、(本题满分本题满分 7 分分)设有一半径为R的球体0,P是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P距离的平方成正比(比例常数0k ),求球体的重心位置.九、九、(本题满分本题满分 6 分分)设函数( )f x在0, 上连续,且 00( )0,( )cos0.f x dxf xxdx试证:在(0, )内至少存在两个不同的点12, 使12( )()0.ff十、十、(本题满分本题满分 6 分分)设矩阵A的伴随矩阵*10000100,10100308 A且113ABABAE,其中E为 4 阶单位矩阵,求矩阵B.第 5 页 共 13 页十一、十一、(本题满分本题满分 8 分分)某适应性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将1 6熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、 老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2 5成为熟练工.设第n年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为nx和,ny记成向量.nnxy (1)求11nnxy 与nnxy 的关系式并写成矩阵形式:11.nnnnxxyyA(2)验证1241,11 是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111 2 1 2xy 时,求11.nnxy 十二、十二、(本题满分本题满分 8 分分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)pp,各产品合格与否相对独立,当出现 1 个不合格产品时即停机检修.设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望()E X和方差()D X.第 6 页 共 13 页十三、十三、(本题满分本题满分 6 分分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为2()2e( ; )0xxf xx,其中0为未知参数.又设12,nx xx是X的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值.2000 年全国硕士研究生入学考试年全国硕士研究生入学考试数学一试题与答案数学一试题与答案第 7 页 共 13 页第 8 页 共 13 页第 9 页 共 13 页第 10 页 共 13 页第 11 页 共 13 页第 12 页 共 13 页第 13 页 共 13 页
