2009年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案
第 1 页 共 24 页20092009 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷一一、选择题选择题(1-8(1-8 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 3232 分分, ,下列每小题给出的四个选下列每小题给出的四个选项中项中, ,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1)当0x 时, sinf xxax与 2ln 1g xxbx等价无穷小,则()(A)11,6ab (B)11,6ab(C)11,6ab (D)11,6ab (2)如图,正方形,1,1x yxy被其对角线划分为四个区域1,2,3,4kDk ,coskk DIyxdxdy,则 14maxkkI ()(A)1I(B)2I(C)3I(D)4I(3)设函数 yf x在区间1,3上的图形为则函数 0xF xf t dt的图形为()1( )f x-2023x-1O第 2 页 共 24 页(A)( )f x023x1-2-11(B)( )f x023x1-2-11(C)( )f x023x1-11(D)( )f x023x1-2-11(4)设有两个数列 ,nnab,若lim0nna ,则()(A)当1n nb收敛时,1nn na b收敛.(B)当1n nb发散时,1nn na b发散.(C)当1n nb收敛时,221nn na b收敛.(D)当1n nb发散时,221nn na b发散.(5)设123, 是 3 维向量空间3R的一组基,则由基12311,23到基122331, 的过渡矩阵为()(A)101220033 (B)120023103 第 3 页 共 24 页(C)111 246 111 246 111 246 (D)111 222 111 444 111 666 (6)设,A B均为 2 阶矩阵,*,A B分别为,A B的伴随矩阵,若2,3AB,则分块矩阵OABO 的伴随矩阵为()(A)*32OBAO (B)*23OBAO (C)*32OABO (D)*23OABO (7)设随机变量X的分布函数为 10.30.72xF xx,其中 x为标准正态分布函数,则EX ()(A)0(B)0.3(C)0.7(D)1(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布0,1N,Y的概率分布为1012P YP Y,记 ZFz为随机变量ZXY的分布函数,则函数 ZFz的间断点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3二二、填空题填空题(9-14(9-14 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 2424 分分, ,请将答案写在答题纸指定位请将答案写在答题纸指定位置上置上.).)(9) 设 函 数,f u v具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ,zf x xy, 则2zx y .(10) 若 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程0yayby的 通 解 为第 4 页 共 24 页12exyCC x,则非齐次方程yaybyx满足条件 02,00yy的解为y .(11)已知曲线2:02L yxx,则 Lxds .(12)设222, ,1x y z xyz ,则2z dxdydz.(13)若 3 维列向量, 满足2T ,其中T为的转置,则矩阵T的非零特征值为.(14)设12,mXXX为来自二项分布总体,B n p的简单随机样本,X和2S分别为样本均值和样本方差.若2XkS为2np的无偏估计量,则k .三三、 解答题解答题(15(152 23 3 小题小题, ,共共 9 94 4 分分. .请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.).)(15)(本题满分 9 分)求二元函数22( , )2lnf x yxyyy的极值.第 5 页 共 24 页(16)(本题满分 9 分)设na为 曲 线nyx与11,2,.nyxn所 围 成 区 域 的 面 积 , 记1221 11,nn nnSa Sa ,求1S与2S的值.(17)(本题满分 11 分)椭球面1S是椭圆22 143xy绕x轴旋转而成,圆锥面2S是过点4,0且与椭圆22 143xy相切的直线绕x轴旋转而成.(1)求1S及2S的方程.(2)求1S与2S之间的立体体积.第 6 页 共 24 页(18)(本题满分 11 分)(1)证明拉格朗日中值定理:若函数 f x在, a b上连续,在( , )a b可导,则存在, a b,使得 f bf afba.(2)证明 :若函数 f x在0x 处连续 , 在0,0内可导 , 且 0lim xfxA ,则 0f存在,且 0fA(19)(本题满分 10 分)计算曲面积分 3 2222xdydzydzdxzdxdyI xyz ,其中是曲面222224xyz的外侧.第 7 页 共 24 页(20)(本题满分 11 分)设111111042 A,1112 (1)求满足21A的2.2 31A 的所有向量2,3.(2)对(1)中的任意向量2,3证明123, 无关.(21)(本题满分 11 分)设二次型222 1231231 323,122f x x xaxaxaxx xx x.(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;(2)若二次型f的规范形为22 12yy,求a的值.第 8 页 共 24 页(22)(本题满分 11 分)袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以, ,X Y Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1)求10p XZ.(2)求二维随机变量,X Y概率分布第 9 页 共 24 页(23)(本题满分 11 分)设总体X的概率密度为2,0( )0,xxexf x 其他,其中参数(0) 未知,1X,2X,nX是来自总体X的简单随机样本.(1)求参数的矩估计量.(2)求参数的最大似然估计量.第 10 页 共 24 页2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷参考答案参考答案第 11 页 共 24 页第 12 页 共 24 页第 13 页 共 24 页第 14 页 共 24 页第 15 页 共 24 页第 16 页 共 24 页第 17 页 共 24 页第 18 页 共 24 页第 19 页 共 24 页第 20 页 共 24 页第 21 页 共 24 页第 22 页 共 24 页第 23 页 共 24 页第 24 页 共 24 页
