2003年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案
第 1 页 共 25 页20032003 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷数学数学（一一）试题）试题一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）)1ln(102)(coslimxxx=.（2） 曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是.（3） 设)(cos02xnxaxnn，则2a=.（4）从2R的基 11,0121到基 21,1121的过渡矩阵为.（ 5 ） 设 二 维 随 机 变 量 (X,Y) 的 概 率 密 度 为，yxxyxf其他, 10, 0,6),(则1YXP.（6）已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布) 1 ,(N，从中随机地抽取 16 个零件，得到长度的平均值为 40 (cm)，则的置信度为 0.95 的置信区间是.(注注：标准正态分布函数值.)95. 0)645. 1 (,975. 0)96. 1 (二二、选择题选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数 f(x)在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点. yOx（2）设,nnncba均为非负数列，且0lim nna,1lim nnb, nnclim,则必有第 2 页 共 25 页(A)nnba 对任意 n 成立.(B)nncb 对任意 n 成立.(C)极限nnnca lim不存在.(D) 极限nnncb lim不存在.（3）已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220, 0yxxyyxfyx，则(A)点(0,0)不是 f(x,y)的极值点. (B)点(0,0)是 f(x,y)的极大值点. (C)点(0,0)是 f(x,y)的极小值点. (D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点.（4）设向量组 I：r,21可由向量组 II：s,21线性表示，则(A) 当sr 时，向量组 II 必线性相关.(B) 当sr 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当sr 时，向量组 I 必线性相关.(D) 当sr 时，向量组 I 必线性相关. （5）设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为nm矩阵，现有 4 个命题： 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则 Ax=0 与 Bx=0 同解. 以上命题中正确的是 (A).(B). (C).(D).（6）设随机变量21),1)(XYnntX，则(A)(2nY.(B) 1(2nY.(C) 1 ,(nFY.(D), 1 (nFY.三、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A; (2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V.第 3 页 共 25 页四四、 （本题满分（本题满分 12 分）分）将函数xxxf2121arctan)(展开成 x 的幂级数，并求级数012) 1(nnn的和.五五 、 （本题满分（本题满分 10 分）分）已知平面区域0 ,0),(yxyxD，L 为 D 的正向边界. 试证：(1)dxyedyxedxyedyxexLyxLysinsinsinsin;(2).22sinsindxyedyxexLy第 4 页 共 25 页六六 、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而 作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 （比例系数为 k,k>0） .汽锤第一次击 打将桩打进地下 a m. 根据设计方案， 要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之 比为常数 r(00 时，).(2)(tGtF九九 、 （本题满分（本题满分 10 分）分）设矩阵 322232223A， 100101010P，PAPB*1，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中*A为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵.第 6 页 共 25 页十十 、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l032cbyax，:2l032acybx，:3l032baycx.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为. 0cba十一十一 、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.第 7 页 共 25 页十二十二 、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 设总体 X 的概率密度为, 0,2)()(2xxexfx其 中0是 未 知 参 数 .从 总 体 X 中 抽 取 简 单 随 机 样 本nXXX,21， 记).,min( 21nXXX(1) 求总体 X 的分布函数 F(x);(2) 求统计量的分布函数)(xF；(3) 如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.第 8 页 共 25 页20032003 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学数学（一一）试题参考答案）试题参考答案一、填空题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）)1ln(102)(coslimxxx=e1.【分析分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(limxgxf)1 (=)()1)(lim(xgxfe进行计算求极限均可.【详解详解 1】)1ln(102)(coslimxxx=x xxecosln )1ln(1lim20,而21 2cossinlimcoslnlim)1ln(coslnlim 02020xxxxx xxxxx，故原式=.121ee【详解详解 2】 因为2121lim)1ln(1) 1(coslim22020 xxxx xx，所以原式=.121ee（2） 曲面22yxz与平面042zyx平行的切平面的方程是542zyx.【分析分析】 待求平面的法矢量为1, 4 , 2n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22yxz切平面的法矢量与1, 4 , 2n平行确定.【详解详解】 令22),(yxzzyxF，则xFx2，yFy2，1zF.设切点坐标为),(000zyx， 则切平面的法矢量为1 ,2,200yx ， 其与已知平面042zyx平行，因此有11 42 2200 yx，可解得2, 100yx，相应地有. 52 02 00yxz故所求的切平面方程为第 9 页 共 25 页0)5()2(4) 1(2zyx，即542zyx.（3） 设)(cos02xnxaxnn，则2a=1.【分析分析】 将)()(2xxxf展开为余弦级数)(cos02xnxaxnn， 其系数计算公式为0cos)(2nxdxxfan.【详解详解】 根据余弦级数的定义，有xdxxdxxa2sin12cos20202 2=00222sin2sin1xdxxxx=0002cos2cos12cos1xdxxxxxd=1. 【评注评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.（4）从2R的基 11,0121到基 21,1121的过渡矩阵为 2132.【分析分析】 n 维向量空间中，从基n,21到基n,21的过渡矩阵 P 满足n,21=n,21P，因此过渡矩阵 P 为：P=1 21, n,21n.【详解详解】根据定义，从2R的基 11,0121到基 21,1121的过渡矩阵为P=1 21, 21111011,121.=.213221111011 （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，yxxyxf其他, 10, 0,6),(则1YXP41.【 分 析分 析 】已 知 二 维 随 机 变 量 (X,Y) 的 概 率 密 度 f(x,y) ， 求 满 足 一 定 条 件 的 概 率),(0zYXgP，一般可转化为二重积分),(0zYXgP= 0),(),(zyxgdxdyyxf进行计算.【详解详解】 由题设，有第 10 页 共 25 页1YXP 121016),(yxxxxdydxdxdyyxf=.41)126(2102dxxxy1DO211x【评注评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1 yx的公共部分 D，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布) 1 ,(N，从中随机地抽取 16 个零件，得到长度的平均值为 40 (cm)，则的置信度为 0.95 的置信区间是)49.40,51.39(.(注注：标准正态分布函数值.)95. 0)645. 1 (,975. 0)96. 1 (【分析分析】 已知方差12，对正态总体的数学期望进行估计，可根据) 1 , 0(1NnX，由112unXP确定临界值2u，进而确定相应的置信区间.【详解详解】 由题设，95. 01，可见.05. 0于是查标准正态分布表知.96. 12u本题n=16,40x, 因此，根据95. 096. 11nXP，有95. 096. 116140P，即95. 049.40,51.39P，故的置信度为 0.95 的置信区间是)49.40,51.39(.二二、选择题选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）第
