理论力学课后习题详解-第12章-动能定理
174第 13 章 动能定理 第 13 章 动能定理 13-1 如图 13-1a 所示，圆盘的半径 r = 0.5 m，可绕水平轴 O 转动。在绕过圆盘的绳上 吊有两物块 A、B，质量分别为 mA = 3 kg，mB = 2 kg。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作 用 1 力偶， 力偶矩按4=M的规律变化 （M 以mN计，以 rad 计） 。 求由20=到 时，力偶 M 与物块 A，B 重力所作的功之总和。 OrMgAmgBm(a) (b) 图 13-1 解解 轴承处约束力（图 13-1b 中未画出）为理想约束力，不做功。做功的力和力偶矩有 M，mAg，mBg： ()J 110J 5 . 028 . 9182)(82)(d40222=×××+=+=+=rgmmrgmmWBABA13-2 如图 13-2a 所示， 用跨过滑轮的绳子牵引质量为 2 kg 的滑块 A 沿倾角为°30的光 滑斜槽运动。设绳子拉力 F = 20 N。计算滑块由位置 A 至位置 B 时，重力与拉力 F 所作的 总功。 °60gmAB°45m6FD(a) (b) 图 13-2 解解 在图 13-b 中，理想约束力未画出。做功力有 F，mg。 J 29. 6J 536. 2218 . 92557. 12060cosm 56. 1m )3121(12)231221(660sin6 45sin6m, 54. 2m )311 (660cot645cot6=××××= °= =°°= =°°=ABADADABlmglFWlBCDCl13-3 图 13-3a 所示坦克的履带质量为 m，两个车轮的质量均为 m1。车轮被看成均质圆 盘，半径为 R，两车轮间的距离为R。设坦克前进速度为 v，计算此质点系的动能。 解解 系统的动能为履带动能和车轮动能之和。将履带分为 4 部分，如图 13-3b 所示。履 带动能： 175IVIIIIII2 21TTTTvmTii+=履DABCIIIIIvI0=vIVv2(a) (b) 图 13-3 由于vvv2, 0IV1=，且由于每部分履带长度均为R，因此 222 IVIVIV2 IIIIVIIIIII2)2(421 210214vmvmvmTvmTmmmmm=×=II、III 段可合并看作 1 滚环，其质量为2m，转动惯量为2 2RmJ=，质心速度为 v，角速度为Rv=，则 2222 22 22 22 IIIII2202221 421 221mvvmvmTvm RvRmmvJvmTT=+=+=+=+履轮动能 2 122 2121 123 221 222vmRvRmvmTT= +=轮轮则系统动能 2 12 23vmmvTTT+=+=轮履13-4 长为 l， 质量为 m 的均质杆 OA 以球铰链 O 固定， 并以等角速度绕铅直线转动， 如图 13-4a 所示。如杆与铅直线的交角为，求杆的动能。 Agmszr sdmdO(a) (b) 图 13-4 解解 由刚体绕定轴转动的动能，得杆的动能 2 21zJT = 其中（图 13-4b） 176图 13-6 =mrJzd22222 sin3dsin 0mlslmsl= 代入上式得 222sin6lmT = 13-5 自动弹射器如图 13-5a 放置，弹簧在未受力时的长度为 200 mm，恰好等于筒长。 欲使弹簧改变 10 mm，需力 2 N。如弹簧被压缩到 100 mm，然后让质量为 30 g 的小球自弹 射器中射出。求小球离开弹射器筒口时的速度。 °30gmkFNF(a) (b) 图 13-5 解解 由题意得弹簧的刚度系数 N/m 200m01. 0N2=lFk 弹射过程中，弹性力功 J 1J )01 . 0(20021)(2122 12 01= ×=kW 重力功 J 0147. 01 . 02 . 030sin2=°=mgW 动能 22 2103. 021 210vmvTT×=由动能定理知 1221TTWW=+ 将有关量代入 ，得 0kg03. 021J7014. 0J12×=v v = 8.1 m/s 13-6 如图13-6所示冲床冲压工件时冲头受的平均工作阻力F = 52 kN， 工作行程s = 10 mm。飞轮的转动惯量2mkg 40=J，转速 n = 415 r/min。假定冲压工件所需的全部能量都 由飞轮供给，计算冲压结束后飞轮的转速。 解解 由质点系动能定理 T2 - T1 = W12 （1） 且 FsWJTJT2121122 222 11=有关数据代入式（1） ，得 177322 21010000152)415602(40214021×××=×××× 解得 rad/s 1 .432= 故 r/min 412r/min 1 .4330 302=×=n 13-7 平面机构由 2 匀质杆 AB，BO 组成，2 杆的质量均为 m，长度均为 l，在铅垂平 面内运动。在杆 AB 上作用 1 不变的力偶矩 M，从图 13-7a 所示位置由静止开始运动。不计 摩擦，求当杆端 A 即将碰到铰支座 O 时杆端 A 的速度。 BvAPAB OOBAvBBvAvAPCvCBABOBO(a) (b) (c) 图 13-7 解解 杆 OB 作定轴转动，杆 AB 作平面运动。由图 13-7b 中杆 AB 瞬心 P 和点 B 速度， 得 =OBAB（转向如图 13-7b） （1） lvB=，=cos2lvA （2） 当 A 即将碰 O 时，BABvv/, 0=（图 13-7c） ，由式（2）得 lvvBA22=，lvC23=（图 13-7c） （3） 外力做功 )cos1 (2212=lmgMW 动能 22222222222 2131 34 31 21 121 21)23(2121 21 210AOCCmvmlmlmllmJJmvTTTT=×+×+=+=+=OBAB动能定理： 1212WTT= 得 )cos1 ( 312=mglMmvA )cos1 ( 3=mglMmvA 讨论：可能出现的解答错误是认为 A 即将碰 O 时，A，B 两点速度平行而误认为杆 AB 作瞬时平移，从而将系统动能算错。 13-8 链条全长 l = 1 m，单位长度质量为kg/m 2=，悬挂在半径为 R = 0.1 m，质量 m = 1 kg 的滑轮上，在图 13-8a 所示位置自静止开始下落（给以初始扰动） 。设链条与滑轮 无相对滑动，滑轮为均质圆盘，求链条离开滑轮时的速度。 解解 链条、滑轮整个系统在运动过程中机械能守恒。以 II 线为零势能位置，轴 x 向178图 13-8 下为正，初始瞬时 T1 = 0 CglxV=1其中链条的质心坐标 yC确定如下： 链条弯曲部分的质心坐标 2 sind01R RRR x= =链条垂直部分的质心坐标 42Rlx= )(8414)(222RlRllRlRlRR xC+=+ =链条离开滑轮的瞬时： 2 2222 221)(21(21 21glVRvmRlvT=+=代入 T1+V1=T2+V2 得 22222 21 41 21)(8410glmvlvRlRlgl+=+ mlRlRggl v+ + =2)(84214222 mlgRlRl += 2)(82222mlRRlg += 2)4(2)(222代入数据算得 v = 2.51 m/s 13-9 在图 13-9a 所示滑轮组中悬挂 2 个重物，其中 M1的质量为 m1，M2的质量为 m2。 定滑轮 O1的半径为 r1，质量为 m3；动滑轮 O2的半径为 r2，质量为 m4。2 轮都视为均质圆 盘。如绳重和摩擦略去不计，并设4122mmm>。求重物 m2由静止下降距离 h 时的速度。 g1mg2mg4mg3m1O2O(a) (b) 图 13-9 解解 整个系统为对象，由题意4122mmm>知，M2由静止向下运动，可应用动能定I I 179理确定 M2的速度。设 M2下降 h 距离时的速度为 v，则动滑轮 O2的角速度 22rv= 定滑轮 O1的角速度 112 rv= 根据动能定理 W1 2=T2-T1 即 212 12 132 22 24242 142)2(24422vmrmrmvmmghmghmghm+=+ 故 4312412 3482)2(4 mmmmmmmghv+= 13-10 2 个质量均为 m2的物体用绳连接，此绳跨过滑轮 O，如图 13-10 所示。在左方 物体上放有 1 带孔的薄圆板，而在右方物体上放有 2 个相同的圆板，圆板的质量均为 m1。 此质点系由静止开始运动，当右方物体和圆板落下距离 x1时，重物通过 1 固定圆环板，而 其上质量为 2m1的薄板则被搁住。摩擦和滑轮质量不计。如该重物继续下降了距离 x2时速 度为零，求 x2与 x1的比。 解解 第 1 阶段：系统由静止运动 x1距离。由动能定理 2 21121121)23(21)()2(vmmxgmgmxgmgm+=+ 即 2 2111)23(21vmmgxm+= （1） 第 2 阶段 ：系统通过搁板继续运动 x2距离后静止。由动能定理 2 2122122)2(210)(vmmxgmgmgxm+=+ 即 2 2121)2(21vmmgxm+= （2） 由式（1） 、式（2）得 212112 232 mmmm xx += 13-11 均质连杆AB质量为4 kg， 长l = 600 mm。 均质圆盘质量为6 kg， 半径r = 100 mm。 弹簧刚度系数为 k = 2 N/mm，不计套筒 A 及弹簧的质量。如连杆在图 13-11a 所示位置被无 初速释放后，A 端沿光滑杆滑下，圆盘做纯滚动。求： （1）当 AB 达水平位置而接触弹簧时， 圆盘与连杆的角速度； （2）弹簧的最大压缩量。 gABmABgBmBA(a) (b) 图 13-11 解解 （1）杆 AB 处于水平位置时 0 , 0=BBv，B 为杆 AB 的瞬心。 图 1
