理论力学课后习题详解-第4章-摩擦
54第第5章 摩章 摩 擦擦 5-1 如图 5-1a 所示,置于 V 型槽中的棒料上作用 1 力偶,力偶矩mN 15=M时,刚 好能转动此棒料。已知棒料重力N 400=P,直径m 25. 0=D,不计滚动摩阻。求棒料与 V 形槽间的静摩擦因数 fs。 2NF1NF2sFxy1sF°45°45O PM(a) (b) 图 5-1 解解 圆柱体为研究对象,受力如图 5-1b 所示,Fs1,Fs2为临界最大摩擦力。 0=xF,045cos2s1N=°+PFF (1) 0=yF,045sin1s2N=°PFF (2) 0=OM,0222s1s=+MDFDF (3) 临界状态摩擦定律: 1Ns1sFfF= (4) 2Ns2sFfF= (5) 以上 5 式联立,化得 0145coss2 s=+°MPDff 代入所给数据得 01714. 4s2 s=+ff 方程有 2 根: 442. 4s1=f(不合理) , 223. 0s2=f(是解) 故棒料与 V 形槽间的摩擦因数 223. 0s=f 5-2 梯子 AB 靠在墙上,其重力为N 200=P,如图 5-2a 所示。梯长为 l,并与水平面 交角°= 60。 已知接触面间的静摩擦因数均为 0.25。 今有 1 重力为 650 N 的人沿梯向上爬, 问人所能达到的最高点 C 到点 A 的距离 s 应为多少? AANFAsFP WBBNFsBFC(a) (b) 图 5-2 55解解 梯子为研究对象,受力如图 5-2b 所示,刚刚要滑动时,A,B 处都达最大静摩擦力。 人重力N 650=W,平衡方程: 0=xF, 0sN=ABFF (1) 0=yF, 0sN=+WPFFBA(2) 0=AM,060cos60sin60cos60cos2sN=°°°+°lFlFWslPBB(3) 临界补充方程: AsAFfFNs= (4) BsBFfFNs= (5) 联立以上 5 式,解得 N 80012 sN=+=fWPFA,N 200s=AF N 200)(12 sN=+=WPffFs B,N 50s=BF lPFfWlsB456. 02)3(Ns=+= 5-3 2 根相同的匀质杆 AB 和 BC,在端点 B 用光滑铰链连接,A,C 端放在不光滑的水 平面上,如图 5-3a 所示。当 ABC 成等边三角形时,系统在铅直面内处于临界平衡状态。求 杆端与水平面间的摩擦因数。 CABB BxFBxFPPNFFFNF(a) (b) 图 5-3 解解 由于结构对称与主动力左右对称,约束力也对称,只需取 1 支杆 AB 为研究对象, 受力如图 5-3b 所示,临界平衡时,A 端达最大静摩擦力,设 AB=BC=l,则 0=yF,0N= PF (1) 0=BM,030sin230sin30cosN=°+°°lPlFlF (2) 临界摩擦力为: NsFfF = (3) 解得 287. 0321s=f 5-4 攀登电线杆的脚套钩如图 5-4a 所示。设电线杆直径mm 300=d,A,B 间的铅直 距离mm 100=b。若套钩与电杆之间摩擦因数5 . 0s=f,求工人操作时,为了完全,站在套钩上的最小距离 l 应为多大。 解解 套钩为研究对象,受力如图 5-4b 所示,设工人站在保证安全的最小minl处,此时 钩与电杆接触点 A,B 都达最大静摩擦力,方向向上。 0=xF, 0NN=BAFF (1) 0=yF, 0s=+PFFsBA(2) 56A B xyBsFdAFNBFNPlAsF(a) (b) 图 5-4 0=AM,0)2(sNmin=+dFbFdlPBB(3) 临界摩擦力: AAFfFNss= (4) BBFfFNss= (5) 式(1) 、 (2) 、 (4) 、 (5)联立,解得 2ssPFFBA=,sNN2 fPFFBA= 代入式(3) ,得 022)2(smin=+bfPdPdlP mm 100min= bl 5-5 不计自重的拉门与上下滑道之间的静摩擦因数均为sf, 门高为h。 若在门上h32处用水平力 F 拉门而不会卡住,求门宽 b 的最小值。问门的自重对不被卡住的门宽最小值是 否有影响? ANFFbENFEsFAAsFE(a) (b) 图 5-5 解解 (1)不计自重时受力如图 5-5b 所示 0=yF,AEFFNN= 0=xF,AEFFFss+=,EEFfFNss=,AAFfFNss= AEFFss=,AFFs2= 0=EM,032minNs=bFhFhFAA综上化得 034smin=fbhh57smin 3fbh= ,3s minhfb= (2)考虑门自重 W(位于门形心,铅垂向下,图中未画出)时,受力如图 5-5b 所示 0=yF,AEFWFNN+= 0=xF,AEFFFss+= 临界摩擦力: EEFfFNss=,AAFfFNss= 0=EM,021 32sN=+×+×hFbFbWhFAA解得 )31 (31 31ss2 ssFWhfhfhfFWhfb+=+= 当门被卡住时,无论力 F 多大,门仍被卡住,得 3s minhfb= 可见,门重与此门宽最小值无关。 5-6 平面曲柄连杆滑块机构如图 5-6a 所示。lOA =,在曲柄 OA 上作用有 1 矩为 M 的力偶,OA 水平。连杆 AB 与铅垂线的夹角为,滑块与水平面之间的摩擦因数为sf,不计重力,且stanf>。求机构在图示位置保持平衡时 F 力的值。 OOyFOxFABFAMNFFBSFABF(a) (b) (c) 图 5-6 解解 (1)研究对象 AO,受力如图 5-6b 所示 0=OM MlFAB=cos,cos=lMFAB (1) (2)研究对象为滑块 B,受力如图 5-6c 所示,这里假设 F 较小,B 有向右滑趋势: 0=xF,0cossins'=FFFAB (2) 0=yF,0sincos' N=FFFABsincos' NFFFAB+= 补充方程: NssFfF = )sincos(' ssFFfFAB+= (3) 式(1)代入式(3) ,得 )sin(ssFlMfF+= (4) 式(1) 、 (4)代入式(2) ,得 0)sin(cossincoss=+FlMfFlM)sin(cos)(tanssfFflM+= 58令tans=f,则 )sintan(cos)tan(tan+=FlM)cos()sin( cos)sincossin(cos)cossin cossin( = + =lMlM F F 较大时,滑块 B 滑动趋势与图 c 相反,即摩擦力 Fs与图 c 所示相反,则此时式(1) , (4) 不变,式(2)变为 0cossins'=+FFFAB 式(1) , (4)代入上式,得 0)sincossincosss=+FflMfFlM)sin(cos)(tanssfFflM=+ )sin(cos)(tanss flfMF+= 同样令tans=f,则 )cos(cos)sin( +=lMF 以上 2 个 F 是使系统保持平衡的 F 的最小与最大值,在两者之间的 F 都能保持平衡,即 )cos(cos)sin( )cos(cos)sin( + lMFlM5-7 轧压机由两轮构成,两轮的直径均为mm 500=d,轮间的间隙为mm 5=a,两 轮反向转动,如图 5-7a 上箭头所示。已知烧红的铁板与铸铁轮间的摩擦因数1 . 0s=f,问能轧压的铁板的厚度 b 是多少? 提示:欲使机器工作,则铁板必须被两转轮带动,亦即作用在铁板 A、B 处的法向反作 用力和摩擦力的合力必须水平向右。 AsFBsFBNFANF(a) (b) 图 5-7 解解 铁板主要受力为两轮的正压力ANF、BNF及摩擦力AsF、BsF,如图 5-7b 所示。由于两轮对称配置,可设 NNNFFFBA=,FFFBA=ss合力水平向右,即 sin2cos2NFF0, N/ FFtan 又由摩擦定律 59sN/fFF 比较上 2 式,可见 stanf= 由几何关系 badbadd badbadd+=+ =2222 )(2)2()2( tan 得 s22)()(fbadbadd+, 2 s1)( fddab + 将21 2 s)1 (+ f展开,略去4 sf项及其后各项,可得 mm 5 . 722 s=+fdab 5-8 鼓轮利用双闸块制动器制动,设在杠杆的末端作用有大小为 200 N 的力 F,方向与 杠杆相垂直,如图 5-8a 所示,自重均不计。已知闸块与鼓轮间的摩擦因数5 . 0s=f,又m 5 . 022121=LOKLAOCDKDOOR,m 75. 01=BO,m 11=DOAC, m 25. 0=ED,求作用于鼓轮上的制动力矩。 CDO1OAB2OyO1FxO1FFACFxO1F 1OyO1F1NFDyFDxFDxFDyFEEKFKEKF2NFxO2FyO2F2NFOyFOxF1NF2sF 1sF1sF2sFDACF(a) (b) 图 5-8 解解 (1) 杆BO1为研究对象,受力如图 5-8b 所示的下部。 01=OM,011=BOFAOFAC,N 30011=FAOBOFAC 由几何关系 5225. 050. 050. 0cos 22= +=KEKD (2)杆 CDE 为研究对象,受力如图 5-8b 所示的上部。 0=DM,0cos'=DCFDEFACKE,ACKEFF5= 0=xF,0cos=KEDxFF,N 6002cos=ACKEDxFFF (3)杆 O1D 为研究对象,受力如图 5-8b 所示的右部。 01=OM, 021 1N1'=DOFDOFDx,N 20012' 1N=DxFF 60(4)杆KO2为研究对象,受力如图 5-8b 所示的左部。 02=OM,0cos22'2 2N=KOFKOFKE N 20014cos2' 2N=ACKEFFF 由摩擦定律 N 6005 . 01N1s=FF,N 6005 . 02N2s=FF (5) 鼓轮为研究对象,受力如图 5-8b 所示的中部,由平衡条件得制动力矩为 mN 300)(' s2' s1=+=RFFM 5-9 砖夹的宽度为 0.25 m,曲杆 AGB 与 GCED 在点 G 铰接,尺寸如图 5-9a 所示。设 砖重 P=120 N,提起砖的力 F 作用在砖夹的中心线上,砖夹与砖间的摩擦因数5 . 0s=f,求距