理论力学课后习题详解-第10章-质点动力学基本方程

139A B 第 10 章 质点动力学的基本方程 第 10 章 质点动力学的基本方程 10-1 1 质量为m的物体放在匀速转动的水平转台上， 它与转轴的距离为r， 如图 10-1a 所示。设物体与转台表面的摩擦因数为f，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的 最大转速。 ryxasFgmNF(a) (b) 图 10-1 解解 物体m为研究对象，受力和运动分析如图 10-1b 所示，当转速达最大时，摩擦力达 最大： NfFF = （1） 将aFm=分别向x和y方向投影得 maF=，其中2 maxra = （2） 0N= mgF （3） 式（1） 、 （2） 、 （3）联立，解得 rfg=max 最大转速 minr/ 30 30 maxmaxrfgn= 10-2 如图 10-2a 所示 A、B 两物体的质量分别为1m与2m，2 者间用 1 绳子连接，此绳跨过 1 滑轮，滑轮半径为r。如在开始时，2 物体的高度差为 h，而且21mm >，不计滑轮 质量。求由静止释放后，2 物体达到相同的高度时所需的时间。 1F1ag2m2a2Fg1m(a) (b) 图 10-2 解解 分别取重物1m，2m为研究对象，受力和运动分析如图 b，分别列出两物体在铅垂 方向的运动微分方程 1111Fgmam= （1） gmFam2222= （2） 140aaa=21不计滑轮质量，故 21FF = 由式（1） 、 （2） ，解得 gmmmma2121 += a为常量，2 物体以相等的加速度反向作匀加速运动，且由静止释放，即 00=v 2 2121atsss= 当 2 物体达到相同高度时，每物体均经过221hss=的路程。 )()(22121 mmgmmh ast+= 10-3 半径为R的偏心轮绕轴O以匀角速度转动，推动导板沿铅直轨道运动，如图 10-3a 所示。导板顶部放有 1 质量为m的物块A，设偏心距eOC =，开始时OC沿水平线。 求： （1）物块对导板的最大压力； （2）使物块不离开导板的最大值。 yx AOCRgmNFya A(a) (b) (c) 图 10-3 解解 建立如图 10-3b 所示直角坐标系 Oxy，导板与物块均沿y轴线作直线运动，导板作 平移，其运动规律为 teRysin+= 对时间求 2 阶导数得 teaysin2= 物块A受重力 mg 和导板的约束力NF作用如图 10-3c。 物块对导板的压力与NF等值、 反向、共线。由图 10-3c 得物块A的运动微分方程在y轴的投影式为 )sin(2 NNtegmFmamgFy=（1）物块对导板的最大压力为 )(2 maxNegmF+= （2）要使物块不离开导板，则应有 0)(2 minN=egmF 即 2eg 141故 eg=max 10-4 在图 10-4a 所示离心浇注装置中，电动机带动支承轮A、B作同向转动，管模放 在两轮上靠摩擦传动而旋转。铁水浇入后，将均匀地紧贴管模的内壁而自动成型，从而可得 到质量密实的管形铸件。如已知管模内径mm400=D，求管模的最低转速n。 管模内壁agm(a) (b) 图 10-4 解解 取铁水为研究对象，当管模达到最低转速n时，处于最高位置处的铁水，只受重力 mg 作用，而能保持紧贴管壁作圆周运动。运用质点运动微分方程在铅垂方向的投影式，得 mamg= （1） 其中a为法向加速度： 2)302(2Dnra= 代入式（1）得 r/min 672 30=Dgn 10-5 如图 10-5 所示，为了使列车对铁轨的压力垂直于路基，在铁道弯曲部分，外轨 要比内轨稍为提高。试就以下的数据求外轨高于内轨的高度 h。轨道的曲率半径为 m 300=，列车的速度为m/s 12=v，内、外轨道间的距离为m 6 . 1=b。 解解 取列车为研究对象，设其质量为 m，列车受重力 mg，轨道约束力 FN作用，其质心 受力和加速度分析如图 10-5 所示。将 aFm= 分别向x和y方向投影，得 maF=sinN（1） 0cosN=mgF （2） 且 2va = （3） 由几何关系知 22tan hbh= （4） 代入已知数据解得 mm 4 .78 )(422 = += vgbvh 10-6 如图 10-6a 所示套管 A 的质量为 m，受绳子牵引沿铅直杆向上滑动。绳子的另 1 端绕过离杆距离为 l 的滑车 B 而缠在鼓轮上。 当鼓轮转动时， 其边缘上各点的速度大小为0v。求绳子拉力与距离 x 之间的关系。 NFgmbnamn图 10-5 142TFNFAgmxx& &(a) (b) 图 10-6 解解 取套管 A 为研究对象，A 受重力 mg，绳子拉力 FT以及直杆对它的水平约束力 FN 作用，如图 10-6b 所示，套管 A 沿着直杆向上作变速直线运动，在任意瞬时 t 有 22xlAB+= 上式两边对时间t求导 22022dd,dd,dd ddxlxv txvtAB txxlx tABo+= += 上式再对时间t求导，得 322 0 222 0222 022dd dddd xlv xtxxlvtxxlxvtx=+ += 将质点动力学基本方程向铅直方向投影，得 xmFmg& &=cosT， 22cos xlx+= 2 322 0 T)(1)(xl xlvgmF+= 10-7 销钉M的质量为 0.2 kg，水平槽杆带动，使其在半径为mm 200=r的固定半圆 槽内运动。设水平槽杆以匀速mm/s 400=v向上运动，不计摩擦。求在图 10-7a 所示位置 时圆槽对销钉M的作用力。 r°30n Marat MaevrvMvavxn Marat MaNFM F gm(a) (b) (c) 图 10-7 解解 以水平槽为动系，速度分析如图 10-7b 所示： vv =e， 324 . 02330cose a×=°=vvv 受力与加速度分析如图 10-7c 所示： 22222 anm/s 07. 1m/s 32 . 044 . 043= ××= = rv rvaM rtnaaa=+MM143向铅直方向投影，得 ()22tn2n ttnm/s 23. 1m/s 3079. 09238. 030sin30cosm/s 616. 03, 030cos30sin=+=°+°=°°MMMxM MMMaaaaaaa设水平槽对M的约束力为FN，圆槽对M的约束力为F，则 N 284. 0N 232. 12 . 0323230cos= ××=°MxMxmaFmaF*10-8 质量皆为m的A、B两物块以无重杆光滑铰接，置于光滑的水平面及铅垂面上， 如图 10-8a 所示。当°= 60时自由释放，求此瞬时杆AB所受的力。 t BAaBaBAaAaAABFgmANFAaABNFgmBaBABF(a) (b) (c) 图 10-8 解解 初瞬时杆AB角速度为零，作平面运动，由图 10-8b 所示，用基点法得： t BAABaaa+= （0n=BAa） AABaaa3tan= （1） 由图 10-8c 得： sinABAFmgma= （2） cosABBFma= （3） 式（1）代入式（3） ，得 cos3ABAFma= （4） 式（2） 、 （4）联立，解得)60(°= mgFAB23= 10-9 铅垂发射的火箭由 1 雷达跟踪，如图 10-9 所示。当m 00010=r，°= 60， rad/s 02. 0=&，且2rad/s 003. 0=& &时，火箭的质量为 5 000 kg。求此时的喷射反推力F。 解解 此题为已知运动求力。 用极坐标与直角坐标系描述火箭的运动变换关系： sinry = &&&+=cossinrry 2sincoscos2sin&& &&&& && &rrrry+= （1） 约束条件： m 0005cos=rx（常数） 故 0sincos=&&&rrx，&&=tanrr （2） 0sincossin2cos2=& &&&&& && &rrrrx & &&&&& &+=tantan22rrrr （3） 由已知， 图 10-9 144m 00010=r，°= 60时，rad/s 02. 0=&，2rad/s 003. 0=& & 将上述数值代入式（2）得 ()m/s 4 .346m/s 02. 0300010=××=r& （4） 式（4）代入（3） ，解得 2m/s 96.79=r& &（5） 式（4） ， （5）代入式（1） ，得 2m/s 7 .87=y& & 由质点动力学方程，得 ymmgF& &= 所以 kN 488kN )7 .878 . 9(0005)(=+=+=ygmF& & 10-10 1 物体质量m=10 kg，在变力N )1 (100tF=作用下运动。设物体初速度为 m/s 2 . 00=v，开始时，力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体速度为零，此前走了多少路程？ 解解 物体的运动方向只受F作用， 设物体由原点出发沿轴x正向运动， 如图 10-10 所示： xmF& &= (1) 将 ,N )1 (100tF=m=10 kg 代入式（1） ，得 )1 (10tx=& & 上式可改写成 ttxd)1 (10d=& 两边积分，得 m/s 21020 =ttxx&& 由已知 0=t时， m/s 2 . 000= xv& 得 m/s 2102 . 02 +=ttx& （2） 上式积分得 m 3552 . 0032+=xtttx 设物体开始运动时位于坐标原点，在0=t时，0=x，故00=x，于是得到物体的运动方程 m 3552 . 032+=tttx （3） 由题意，令式（2）中0=x&，解得 02. 2=ts 代入式（3） ，得 0