傅里叶变换和频率域滤波的介绍

1 傅立叶变换和频率域滤波的介绍 序言傅立叶变换的作用和意义 1、下图中，最后一个波是由前面四个波组合而成的，是用傅立叶变换，可以很容易将其区分出来。2、对比物理上对光谱的理解（赤橙黄绿青蓝紫、初中对光的三棱镜分解、高中对燃烧的钠元素所发出光的光谱分析实验） ，可以将傅立叶变换理解成“数学上的三棱镜”，傅立叶变换使我们能够通过频率成分来分析一个函数。 一一维傅立叶变换及其反变换 单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)定义为等式：(1) 其中j= 。相反，给定F(u)，通过傅立叶反变换可以获得f(x)：(2) 这两个等式组成了傅立叶变换对。 很明显， 是一个复函数，即 (3) ( ) F u ( ) ( ) ( ) F u R u jI u R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部，其中 (4) 称为傅立叶变换的 幅度或频率谱，同时 (5) 称为变换的相角或相位谱。 在研究图像增强时，我们主要关心频率谱的性质。所以需要定义的另一个量是功率谱，它被定义为傅立叶变换的平方：(6) 术语“谱密度”也用来指功率谱。 这些等式很容易扩展到两个变量u和v的情况：(7)2 类似地，反变换为： (8) 例1、已知 ，而且 。则其傅立叶变换为： ( ) ( 0, 0) x f x e x ( ) 0( 0) f x t 2 ( 2 ) 0 0 ( 2 ) ( 2 ) 0 0 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 )( 2 ) 2 (2 ) 2 (2 ) (2 ) x j ux x j ux j u x j u x F u e e dx e dx e dx e j u j u j u j u j u j u u u j u u 我们的兴趣在于离散函数，所以将不停留在这些数学定义中。然而，在某些情况下，利用这些等式比利用它们的离 散形式更容易证明二维傅立叶变换的性质。 单变量离散函数f(x)(其中x=0，1，2，M一1)的傅立叶变换（离散傅立叶变换 DFT）由以下等式给出：u=0，1，2，M一1 (9) 同样，给出F(u)，能用离散傅立叶反变换IDFT来获得 原函数：x=0，1，2，M一1 (10) 在傅立叶变换前的1M乘数有时被放置在反变换前。其他时候(非经常)，两个等式都乘以1 。乘数的位置 并不重要。如果使用两个乘数，仅要求必须使乘积结果为1M。相比它们的重要性，这些等式的确非常简单。 为了计算在式(9)中的F(u)，首先在指数项中代入u=0，然后，将所有x值相加。之后，在指数项中代人u=1，重复 对所有x的相加。对所有M个u值重复这一过程，从而可获得完整的傅立叶变换。这个过程花费了将近M 2 个加法和乘法 来计算离散傅立叶变换(减少这个运算数量是一个很重要的课题，FFT就是基于此)。像f(x)一样，变换在数量上也是离散 的，有着与f(x)相同数量的分量。离散傅立叶反变换的计算与之类似。 离散变换对的一个很重要的特性是，不像连续的情形，不必关心DFT或它的反变换是否存在。离散傅立叶变换和它 的反变换总是存在的。这一点可以从将式(9)或式(10)相互代人到对方式子中以及利用指数的正交特性来得出。可以获得 一个指明这两个函数存在的恒等式。当然，当f(x)为无限值时，总会有些同题发生，但我们在本书中仅处理有限数值。 总之一句话：对于数字图像处理，离散变换或其反变换的存在不是问题。 频率域的概念将会在斜面被多次提到，从欧拉公式中得到：(11) 将此表达式代人式(9)中，使用公式cos(-)=cos，得出：3(12) 其中，u=0，1，2，M一1。因此，我们看到傅立叶变换的每项即对于每个u值，F(u)的值由f(x)函数所有值的和 组成。f(x)的值则与各种频率的正弦值和余弦值相乘。F(u)值的范围覆盖的域(u的值)称为频率域，因为u决定了变换的 频率成分(x也作用于频率，但它们相加，对每个u值有相同的贡献)。F(u)的M项中的每一个被称为变换的频率分量。使 用术语“频率域”和“频率成分”与“时间域”和“时间成分”没有差别，如果x是一个时间变量，可用它来表示f(x) 的域和值。 一个恰当的比喻是将傅立叶变换比做一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分成不同颜色成分的物理仪器，每个成分的颜 色由波长(或频率)决定。傅立叶变换可看做“数学的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分。当我们考虑光时，讨论它 的光谱或频率谱线。同样，傅立叶变换使我们能够通过频率成分来分析一个函数。这是属于线性滤波核心的重要概念。 总之，从式(9)或式(12)中可以看出傅立叶变换的成分很复杂。正如在复数的分析中，我们发现有时在极坐标下表示F(u) 很方便，这里推出另一个关系式为： (13) 此外，在式(9)的离散傅立叶变换中，函数f(x) ,x=0，1，2，M一1，表示从连续的公式中取M个样点。记住 这一点很重要，这些样点不一定必须选取x在0，M-1范围内的整数值。但在这里它们是任意选取的等间隔点。经常用 x 0 (任意定位的)表示序列中的第一个点。被抽样函数的第一个值就是f(x 0 )。下个样点采用固定间隔x，从而得到 f(x 0 +x)。第k个样点为f(x 0+kx)，最后一个样点为f(x 0+M-1x)。这样，在离散情况下，当写出f(k)时，可以 理解为是f(x 0+kx)的缩写表示。根据这样的表示法，当处理离散变量时，f(x)被理解为：(14) 变量 u 有相似的解释，但序列通常总是从0频率开始。因此，u值序列为0，u，2u , ,M-1 u。F(u)理解为：(15) 其中，u=0，1，2，M-1。这种缩写大大简化了等式，并容易理解得多。 根据式(9)、式(14) 、式(15)，x和u有 如下关系： (16) 在图像处理中当测量是一个问题时这个关系很有用。例如，在电子显微镜下的应用，图像样品可能分开1m的间隙， 在频率域中某些特性可根据实际样品的结构暗示出来。在接下来的大部分讨论中，在不考虑特定抽样或其他测量因素的情 况下，使用变量x和u。 二二维DFT及其反变换 一维离散傅立叶变换及其反变换向二维扩展是简单明了的。一个图像尺寸为M×N的函数f(x，y)的离散傅立叶变换 由以下等式给出： (17) 像在一维中的情形一样，此表达式必须对u值(u=0，1，2，M-1)和v值(v=0，1，2，N-1)计算。同样，给 出F(u,v)，可以通过反傅立叶变换获得，f(x，y)，由表达式给出： (18)4 其中，x=0，1，2，M-1，y=0，1，2，N-1。式(17)和式(18)构成了二维离散傅立叶变换对。变量u和v是变换或 频率变量，x和y是空间或图像变量。正如在一维中的情形那样，常量1MN的位置并不重要，有时它在反变换之前。其 他时候，它被分为两个相等的常数l ，分别乘在变换和反变换的式子前。 同前面类似，定义傅立叶谱、相角和频率谱：(19)(20) 并且 (21) 其中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。 通常在进行傅立叶变换之前用(-1) x+y 乘以输入的图像函数。由于指数的性质，很容易看出（？） (22) 其中·表示引文中的傅立叶变换。这个等式说明f(x,y) (-1) x+y 傅立叶变换的原点即F(0,0)被设置在u =M2和 v=N/2上。换句话说，用(-1) x+y 乘以f(x,y)将F(u,v)原点变换到频率坐标下的(M2；N/2)，它是二维DFT设置的M×N 区域的中心。我们将此频率域的范围指定为频率矩形，它从u=0到u=M-1从v=0到v=N-1(u和v是整数)。为了确保移动 后的坐标为整数，要求M和N为偶数。当在计算机中使用傅立叶变换时，总和的范围为u从1到M，v从1到N。实际的 变换中心将为u=(M2)+1和v=(N2)十1。 从式(17)得到(u,v)=(0,0)的变换值为：(23) 即f(x,y)的平均值。换句话说，如果f(x,y)是一幅图像，在原点的傅立叶变换即等于图像的平均灰度级。因为在原点处 常常为零，F(0，0)有时称做频率谱的直流成分。 如果f(x,y)是实函数，它的傅立叶变换必然为对称的，即(24) 其中“*”表示对于复数的标准共轭操作。由此，它遵循： (25) 其中，傅立叶变换的频率谱为对称的。共轭对称和前面讨论的中心对称的性质简化了频率域内循环对称滤波器的技术条件， 此内容将在下面的部分中讨论。 最后，如在一维中的情况，空间域和频率域抽样点之间的关系如下所示：(26) 并且 (27) 这些变量的意义解释与上文中给出的一维变量相同。 例2 一个简单二维函数的中心谱 下图显示了在512×512像素尺寸的黑色背景上叠加一个20×40像素尺寸的白色矩形。此图像在进行傅立叶变换的 计算之前被乘以(-1) x+y 。从而可以使频率谱关于中心，对称，如图所示(注意两张图的位置、标志和轴的原点。在图像和 相关的傅立叶谱中的讨论都遵循此约定)。在图中u方向谱的零点分隔恰好是v方向零点分隔的两倍。这却相反地符合图 像中1：2的矩形尺寸比例。5 （注意：在前面应该补充一些基本变换的图示，p28，恒波的变换、方波的变换、冲激波可不可以做变换、正弦波的变换 等） 一些其它的示例图片：三快速傅立叶变换（FFT）的设计和实现 见手稿。 四 频率域滤波 在前文中，频率域仅是由傅立叶变换和频率变量(u,v)定义的空间。此处，将联系图像处理揭示频率域的深刻含义。 1、频率域的基本性质6 从观察式(17)开始，每个F(u,v)项包含了被指数项修正的f(x,y)的所有值。因此，除了特殊情况，一般不可能建立 图像特定分量和其变换之间的直接联系。然而，一般文献通常会有关于傅立叶变换的频率分量和图像空间特征之间联系的 阐述。例如，既然频率与变化率直接相关，直观上要将傅立叶变换的频率与图像中的强度变化模式联系起来并不困难。在 前面的章节中显示了变化最慢的频率成分(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度级。当从变换的原点移开时，低频对应着图像 的慢变化分量，例如，一幅房间的图像，墙和地板可能对应平滑的灰度分量，当我们进一步移开原点时,较高的频率开始 对应图像中变化越来越快的灰度级。这些是物体的边缘和由灰度级的突发改变(如噪声)标志的图像成分。 一句话：低频包含图像主要信息，高频包含图像的细节和噪声。 例3 一幅图像及显示某些重要特征的傅立叶谱 本例用于证明上面的推想。图中所示图像是一幅集成电路的扫描电子显微镜图像，放大将近2500倍。除了设备本身 有趣的结构外，还注意到两个主要的特征：大约成±45 o 的强边缘和两个因热感应不足而产生的白色氧化突起。图中所示 的傅立叶频谱显示了沿着±45 o 方向对应于刚刚提及的边缘突起的部分。沿着垂直轴仔细观察，可以看到在轴偏左的部分 有垂直成分。这是由氧化变起的边缘形成的。注意在偏离轴的角度，频率成分如何对应长的白色元素的水平位移，并且注 意在垂直频率成分中的零点如何对应氧化突起的狭窄垂直区域。（我对这幅图片的理解尚有疑问，希望大家讨论一下）这是典型的建立频率和空间域联系的例子。正如在本章所示的，即使是这些总体的联系类型，以及