概率论部分例题

(3) 解 (1) (2) ), ( B A P 设 P(A)= 0.4, P(B)= 0.3, P(AB)= 0.6, 求P(AB), 例3 ). ( B A P , ) ( ) ( ) ( ) ( AB P B P A P B A P ) ( ) ( ) ( P P P ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P AB P = 0.4 + 0.3 -0.6 = 0.1 ; 由加法公式 B B A AB AB A B A ) ( ) ( AB P A P AB A = 0.4 -0.1 = 0.3 ; ) ( B A P 余概公式 ) ( ) ( 1 ) ( B A P B P A P = 0.4 + (1-0.3 ) -0.3 = 0.8 ; ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B 1.1.2 解 设 P(A)= P(B)= P(C)= 1/4 , P(AC)= P(BC)= 1/6 , P(AB)=0， 例4 ) ( C B A P ) ( C B A P ) ( 1 C B A P 1-(1/4 + 1/4 + 1/4 -0 - 1/6 - 1/6 + 0 ) = 7/12 . 由概率的非负性可知 ， AB ABC ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ABC P BC P AC P AB P C P B P A P 对偶律 余概公式 加法公式 求事件 A , B, C 全不发生的概率. ， 又 0 ) ( AB P ， ) ( ) ( AB P ABC P , 0 ) ( ABC P ) ( C B A P 1.2.2 (1)A 包含的样本点数n! 由于每个粒子落入格子有N种方式n个粒子落入N个格子有N n种 (2)A = 恰有n个格子中各有一个粒子； (1)A = 指定的n个格子中各有一个粒子； 解 例1(分房模型) 有n个不同的粒子，每个粒子都以同样的概率落入 N（ ）个格子的每一格子中，试求下述事件的概率： n n N n A p ! ) ( 1 2 3 . N (2) 先选出n个格子-N个格子中选取n个有 种 n N C n n N N n C B p ! ) ( 即 的样本点数为 。 n N n个 1.3 (2)先任取一只, 作测试后不放回, 在剩下的中再任取一只. 一个盒子中装有10个大小、形状完全相同的晶体管， 其中 3 只是次品. 例2 按下列两种方法抽取晶体管： (1)先任取一只, 作测试后放回盒中, 再任取下一只； 有放回抽样 无放回抽样 试分别对这两种抽样方法, 求从这10只晶体 管任取2只中，恰有一只是次品的概率. 解 设 A=抽取的2只晶体管中恰有一只是次品 (1)有放回抽样： 由于每次都是从10只中取 1010 种取法 即 的样本点数 n=102 ， 第1次取到合格品，且第2 次取到次品 第1次取到次品，且第2 次取到合格品 A: 73 37 共有 73 + 37 = 42 种取法 古典概型 . 100 42 ) ( A P (2)无放回抽样： 第1次是从10只中取, 第2次是从9只中取， 109 种取法 即 的样本点数 n=109， A: 共有 73 + 37 = 42 种取法 古典概型 . 90 42 ) ( A P 1.3 将n个球随机放入N（Nn ）个盒子中，试求 每个盒子中至多一个球的概率？（盒子的容量不限） 解 例5 ( 1) ( 1) n N nn A N N N n p NN L每个盒子里放一个的方法一共有 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) N N N n C C C N N N n LL将n个球随机放入N（Nn ）个盒子中，一共有 种不同的放法。 n N 1.3.1 将15名学生随机地平均分到3个班，这15名学生中有 3名优秀生。问（1）每班分到一名优秀生的概率； （2）3名优秀生分到一个班的概率。 解 例6 15名学生随机地平均分到3个班的分法总数为 555 555 15 10 5 15 10 5 15! 5!5!5! 5!5!5! AAA CCC设 A每班分到一名优秀生 B3名优秀生分到一个班 12! 3! 25 4!4!4! () 15! 91 5!5!5! PA (1)优秀生的分法有 种,其他学生分法有 种。 12! 4!4!4! 3 2 1 3! (2)优秀生的分法有 种,其他学生分法有 种。 12! 2!5!5! 3 12! 3 6 2!5!5! () 15! 91 5!5!5! PB 1.3.2 设某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控，监控 期为 L 单位时间，该期间内随时可提取尿样化验. 问该人员 复吸且被检验出的概率是多少？ 例7 设该人员随 时可能复吸， 且复吸后 S 单位时间内尿样呈阳性反应， 解 x 复吸时刻; y 提取尿样的时刻, (x, y) 样本点, 样本空间 = (x,y)| 0 x L, 0 y L， 则 的度量 = L2 . L L S y = x 0 x y A=该人员复吸且被检验出 A=(x, y)| 0 y -x S , 则 A的度量 = 22 1 1 () . 2 2 L L S 22 2 11 () 2 2 () . L L S PA L A 1.3.3 现从这20套题 中不放回地连取两次，每次取一套，共取两套， = , 例3 有20 套试题，其中7套已在考试中用过. 12 , 95 39 A 1 发生后的缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A 2 所含样本点个数 解 设 A i =第 i 次取到的是未曾用过的试题 ， 问在第一次取到 的是未曾用过的试题的情况下, 第二次取到的也是未曾用过的试题 的概率是多少？ i =1, 2. 方法 1) P(A 1 ) P(A 1 A 2 ) 2 20 C 2 13 C 13 20 方法 2) . 19 12 ) ( ) ( ) | ( 1 2 1 1 2 A P A A P A A P 的 点数 20 19 . 19 12 ) | ( 1 2 A A P = 1.4.1 现从中连续取3次， 每次不放回地取 1 件， 例4 设有 100 件产品，其中有 5 件次品. 则所求概率为： 解 设 A i=第i 次取到的是次品, 求第 3 次才取到正品的概率. i =1, 2, 3. ) ( 3 2 1 A A A P ) | ( ) | ( ) ( 2 1 3 1 2 1 A A A P A A P A P , 100 5 ) ( 1 A P , 99 4 ) | ( 1 2 A A P , 98 95 ) | ( 2 1 3 A A A P . 002 . 0 ) ( 3 2 1 A A A P 推广到多个事件的乘法公式: 当 P(A 1 A 2 A n-1 )> 0 时，有 P(A 1 A 2 A n )= P(A 1 )P(A 2 |A 1 )P(A 3 |A 1 A 2 ) P(A n | A 1 A 2 A n-1 ) 1.4.2 求： (1) 它是由机器甲生产出来的概率；, (2) 它是由哪一部机器生产出来的可能性大. 现从总产品 中随即地抽取一个零件, 发现是不合格品, 已知机器 甲、乙、丙生产的零件分别有 10% 、5%和1%不合格, 其中机器甲生产 的占40%, 1 2 3 1 2 3 ( ) 0.40, ( ) 0.25, ( ) 0.35, ( | ) 0.10, ( | ) 0.05, ( | ) 0.01, P B P B P B P A B P A B P A B 机器丙生产的占35 %, 机器乙生产的占25%, 解 设B 1 ,B 2 ,B 3 分别表示事件: 任取的零件为甲、乙、丙机器生产, A=抽取的零件是不合格品, 由条件知 例7 三部自动的机器生产同样的零件, (1) 所求概率为 P(B 1 |A), 由Bayes公式 3 1 1 1 1 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( j j j B A P B P B A P B P A B P 0. 714 ; 代入数据得 (2) 类似(1)的计算可得 P(B 2 |A) 0. 063 , P(B 3 |A) 0. 223 比较可知是机器甲生产出来的可能性大. 1.4.3