椭圆知识讲解
椭圆【学习目标】1. 经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；2. 掌握椭圆的定义和标准方程；能用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题；3. 掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质；4. 能用椭圆的简单性质求椭圆方程；能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.【要点梳理】要点一：椭圆的定义平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数( )，这个动点P1F2 2121FaPF的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.P要点诠释：若 ，则动点 的轨迹为线段 ；121F12若 ，则动点 的轨迹无图形.PP要点二：椭圆的标准方程椭圆的标准方程：1. 当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；x 12byax)0(a22bac2. 当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；y2xy)( 22c要点诠释：1. 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2. 在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ；0ab22bac3. 椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， ；当焦点在 轴上时，x(,0)c,)y椭圆的焦点坐标为 ， ；(0,)c,)4. 在两种标准方程中，a 2b 2，可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.求椭圆的标准方程的主要方法：求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：1. 待定系数法：若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数 a,b，即： “先定型，再定量”.由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式： .21(,0mn)mxny且2. 定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量” 。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.要点三：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆 来研究椭圆的简单几何性质12byax)0(a椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线 x=±a 和 y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|a，|y|b.椭圆的对称性对于椭圆标准方程 ，把 x 换成x，或把 y 换成y，或把 x、y 同时换成x、y，方程21xyab都不变，所以椭圆 是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称2图形，这个对称中心称为椭圆的中心。椭圆的顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆 （ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1（a，0） ，21xyA2（a，0） ，B 1（0，b） ，B 2（0，b） 。线段 A1A2，B 1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A 1A2|=2a，|B 1B2|=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作 。2cea因为 ac0，所以 e 的取值范围是 0e1。e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而 越小，2bc因此椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2+y2=a2。要点诠释：椭圆 的图象中线段的几何特征（如下图）：12byax（1） ， ， ；12PFa12|PFeM21|aPMc（2） ， ， ；12B12Oc221ABb（3） , ， ；Aac1acaFc1要点四：椭圆标准方程中的三个量 a、b、c 的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ab0，ac0，且a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、b、c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边， b、c 为两条直角边。和 a、b、c 有关的椭圆问题常与与焦点三角形 有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦21FP定理（或勾股定理） 、三角形面积公式 相结合的方法进行计算与解题，将12 1sinPFS有关线段 、 、 ，有关角 ( )结合起来，建立 、1PF212122B12PF之间的关系. 12要点五：椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程21(0)xyab21(0)xyabb图形焦点 ，1(,0)Fc2(,)，1(0,)Fc2(,)焦距 2|ab2|ab范围 ，|x|y，|x|y对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点 ，(,0)a(,)b，(0,)a(,)b轴 长轴长= ，短轴长= a2性质离心率(01)ce要点诠释：椭圆 ， （ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系21xyab21x都有 ab0 和 ，a 2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；(01)ce椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x2、y 2 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
