集合的含义与表示第课时集合的表示

第2课时 集合的表示,能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.掌握集合的两种表示方法列举法、描述法.（重点）会用不同的方法表示集合.(难点）,【提示】太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋.,探究点1 列举法思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？,集合的表示方法,思考2:方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合又如何用列举法表示呢？【提示】 -1,-2,数学语言,把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ” 括起来表示集合的方法叫做列举法.,集合中的元素,确定性，互异性，无序性,注意：,元素间要用逗号隔开.,大家能总结归纳出列举法的概念吗？,用列举法表示下列集合：, 大于-4且小于12的全体偶数., 方程 的解集,【解析】,【即时训练】,类型一用列举法表示集合【典例】1.方程组 的解集为_.2.式子 (a0,b0)的所有值组成的集合为_.,3.用列举法表示下列给定的集合:(1)大于1且小于6的整数组成的集合A.(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B.(3)小于8的质数组成的集合C.(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.,【解题探究】1.典例1的解集中的元素是点集还是数集?提示:是点集.2.如何确定典例2中代数式的值?提示:按a,b的正负去绝对值符号得代数式的值.,3.用列举法表示集合应从什么地方着手?提示:用列举法表示集合时需先辨析集合中元素的特征及满足的性质,再一一列举出满足条件的元素.,【解析】1.由 得 故方程组的解集为(1,1).答案:(1,1),2.因为a0,b0,所以a与b可能同号也可能异号,故当a>0,b>0时, 当a0,b0时, 故所有的值组成的集合为-2,0,2.答案:-2,0,2,3.(1)大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A=2,3,4,5.(2)方程x2-9=0的实数根为-3,3,所以B=-3,3.(3)小于8的质数有2,3,5,7,所以C=2,3,5,7.(4)由 得 所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的交点为(1,4),所以D=(1,4).,【方法技巧】用列举法表示集合应注意的三点(1)用列举法表示集合,要分清是数集还是点集.(2)列举法适合表示元素个数有限的集合,当集合中元素个数较少时,用列举法表示集合比较方便.(3)搞清集合所含元素有限还是无限,是选择恰当的表示方法的关键.,【变式训练】用列举法表示下列集合:(1)方程 的解集.(2)正奇数组成的集合.,【解析】(1)由方程 可知， 即 从而方程的解集用列举法表示为(2，-1).(2)正奇数组成的集合可用列举法表示为1,3,5,7,.,由于小于5的实数有无穷多个，而且无法一一列举出来，因此这个集合不能用列举法表示,但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：,（1）集合中的元素都小于5.,（2）集合中的元素都是实数,这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，写作,【思考深化】,探究点2:描述法,描述法：用集合所含元素的_表示集合的方法.,元素的一般符号及取值(或变化)范围,元素所具有的共同特征,共同特征,【提升总结】,由于解不等式,可以得到,，所以不等式,的解集应当写作,注意：,用描述法表示下列集合:,（2）所有正奇数组成的集合,（1）不等式2x+1>0的解集.,解：（1）解不等式2x+1>0得x> 所以不等式的解集为,x|x> .,【即时训练】,3.集合 的几何意义是什么？,1.a与a的含义是否相同？,不同，前者为元素，后者为集合.,2.集合y|y=x2,xR与集合x|y=x2,xR相同吗？,不同，前者是函数的所有函数值组成的集合；后者是函数的所有自变量组成的集合.,曲线y=x2图象上所有点的集合.,思考,类型二用描述法表示集合【典例】用描述法表示下列集合:(1)被3除余2的正整数的集合.(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.,【解题探究】典例中用描述法表示集合时,解题顺序是什么?提示:先找出代表元素,再在竖线后写出该集合中元素的公共属性.,【解析】(1)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,nZ,但元素为正整数,故x=3n+2,nN,所以被3除余2的正整数集合可表示为x|x=3n+2,nN.(2)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点的集合可表示为(x,y)|xy=0.,【延伸探究】1.本例(2)改为“用描述法表示平面直角坐标系中位于第四象限的点的集合”.【解析】位于第四象限的点(x,y)的横坐标为正,纵坐标为负,即x>0,y0,y<0.,2.本例(2)改为“用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)”.,【解析】图中阴影部分表示点,且点的横坐标满足-1x2,纵坐标满足- y1,且xy0,故可将图中阴影部分中的点表示为(x,y)|-1x2,- y1,且xy0.,【方法技巧】描述法表示集合的步骤(1)确定集合中元素的特征.(2)给出其满足的性质.(3)根据描述法的形式写出其满足的集合.,【拓展延伸】对用列举法和描述法表示集合的进一步认识(1)寻找适当的方法来表示集合时,应该“先定元,再定性”.一般情况下,元素个数无限的集合不宜采用列举法,因为不能将元素一一列举出来,而描述法既适合元素个数无限的集合,也适合元素个数有限的集合.,(2)用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素满足的条件;三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.,【补偿训练】用适当的方法表示下列集合:(1)已知集合P=x|x=2n,0n2,且nN.(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合.(3)x2-4的一次因式组成的集合.(4)由方程组 的解所组成的集合.,【解析】(1)用列举法表示为P=0,2,4.(2)可用列举法表示为6,9,12.也可用描述法表示为x|x=3n,4<x<15,且nN.(3)用列举法表示为x+2,x-2.(4)可用列举法表示为(1,2),也可用描述法表示为(x,y)|x=1,y=2.,类型三集合表示方法的综合应用【典例】1.(2016·杭州高一检测)对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,mn=m+n,当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,mn=mn.则在此定义下,集合M=(a,b)|ab=12,aN*,bN*中的元素个数是_.,2.(2016·泰州高一检测)集合A=x|kx2-8x+16=0,若集合A只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.,【解题探究】1.典例1中运算mn的结果与什么有关?提示:mn的意义与m,n的奇偶有关,解题时应注意题目的条件.2.典例2中集合A中的元素是什么?方程一定是一元二次方程吗?提示:集合A中的元素是x,即方程的根.只有当k0时方程才是一元二次方程.,【解析】1.因为ab=12,a,b都是正整数,根据题意可知(a,b)为 共15个.答案:15,2.(1)当k=0时,原方程为16-8x=0.所以x=2,此时A=2.,(2)当k0时,由集合A中只有一个元素,所以方程kx2-8x+16=0有两个相等实根.则=64-64k=0,即k=1.从而x1=x2=4,所以集合A=4.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A=2;当k=1时,A=4.,【延伸探究】把本例2中条件“只有一个元素”改为“有两个元素”,求实数k取值范围的集合.,【解析】由题意可知方程kx2-8x+16=0有两个不等实根,所以 解得k<1,且k0.所以实数k取值范围的集合为k|k<1,且k0.,【方法技巧】1.识别集合含义的两个步骤一看代表元素:例如x|p(x)表示数集,(x,y)|y=p(x)表示点集.二看条件:即看代表元素满足什么条件(公共特性).,2.方程ax2+bx+c=0的根的个数的判断技巧(1)若a=0时,原方程可化为bx+c=0的形式,再根据b,c的取值讨论方程解的个数:若b0,则方程有一个实数根为 若b=0,c=0,则任意一个实数均为方程的解;若b=0,c0,则方程无实数解.,(2)若a0时,则方程需根据判别式的范围确定方程解的个数:若=b2-4ac=0,则方程有两个相等的实根;若=b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实根;若=b2-4ac<0,则方程无实数根.,【变式训练】设集合A=x|x2+ax+1=0.(1)当a=2时,试求出集合A.(2)a为何值时,集合A中只有一个元素.,【解析】集合A是方程x2+ax+1=0的解构成的集合.(1)当a=2时,x2+2x+1=0,即(x+1)2=0,x=-1,所以A=-1.,(2)A中只有一个元素,即方程x2+ax+1=0有两个相等实根,由=a2-4=0,得a=±2.所以a=±2时,集合A中只有一个元素.,