第13章应力状态分析和强度理论

第13章 应力状态分析和强度理论,一、问题的提出,13.1 应力状态的概念,轴向拉伸杆件,斜截面应力：,问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；,横截面应力：,梁弯曲的强度条件：,问题2 B点处应力该如何校核？,有必要研究一点的应力状态。,过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力状态,应 力,指明,二、点的应力状态的概念,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。,研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。,三、一点的应力状态的描述,研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体单元体进行分析,各边边长,在单元体各面上标上应力,应力单元体,三个方向的尺寸均为无穷小；每个面上应力都是均匀的；在单元体内相互平行的截面上应力都是相同的。,1、主平面与主应力：,主平面：切应力为零的平面。,主应力：作用于主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值由大到小。,过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,四、应力状态的分类,a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。,b、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。,c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。,2、应力状态的分类,平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。,复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。,空间应力状态：三向应力状态,简单应力状态：单向应力状态。,纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。,空间应力状态,平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,取单元体示例一,S截面,S 截面,一、斜截面上的应力计算,13.2 平面应力状态分析 解析法,空间问题简化为平面问题,- 逆时针转为正。,设：斜截面面积为A，由分离体平衡得：,单元体各面面积,由切应力互等定理和三角变换，可得：,符号规定：1 )“”正负号同“”； 2) “t a”正负号同“t” ； 3) “a”为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针 为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。,主平面的方位,主应力的大小,讨论：,1)、,2)、 的极值 主应力以及主平面方位,可以确定出两个相互垂直的平面主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。,3)、 切应力t a 的极值及所在截面,最大切应力 所在的位置,xy 面内的最大切应力,由,主平面的位置,最大切应力 所在的位置,将 与 画在原单元体上。,例1：如图所示单元体，求a 斜面的应力及主应力、主平面。,（单位：MPa）,300,40,50,60,解：1、求斜面的应力,2、求主应力、主平面,主应力：,主平面位置：,13.3 三向应力状态,空间应力状态：三个主应力均不为零的应力状态,三向应力状态特例的一般情形,(1)求平行于1的方向面的应力 、 ,其上之应力与1 无关.,(2)求平行于2的方向面的应力、 ,其上之应力与2 无关.,(3)求平行于3的方向面的应力 、 ,其上之应力与3 无关.,(4)一点处任意斜截面上的应力n 、n ,其上之应力与1 、2 、3都有关.,在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：,13.4 广义胡克定律,-泊松比,一、单向应力状态：,二、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,+,+,分析：,(1),即,(2)当 时，即为二向应力状态：,(3)当 时，即为单向应力状态；,即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。,若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力 时，则单元体不仅有线变形 ，而且有角变形 。其应力-应 变关系为：,三、广义胡克定律的一般形式:,三个弹性常数 E、G、之间的关系,广义胡克定律的应用求平面应力状态下任意方向 的正应变：,a,a+90,例2、槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块，试求钢块的三个主应力。F = 8 kN，E = 200 GPa, = 0.3。,解：1) 研究对象：,2)由广义虎克定律：,正方形钢块,某点的应力状态如图所示,当x,y,z不变,x增大时,关于x值的说法正确的是_.,A.不变,B.增大,C.减小,D.无法判定,x仅与正应力有关，而与切应力无关。所以当切应力增大时，线应变不变。,例3、,圆轴扭转破坏分析,材料抗拉能力差，构件沿45斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。,材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏(塑性材料）；,2、铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。,1、低碳钢试件：沿横截面断开。,设：ef 边的面积为 dA 则,eb 边的面积为dAcos,ef 边的面积为dAsin,若材料抗拉压能力差，构件沿45斜截面发生破坏（脆性材料）。,结论： 若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；,分析：,横截面上！,强度理论：,13.5 强度理论,构件在静载荷作用下的两种失效形式：,(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,(2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,本章介绍常用的四个经典强度理论,人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论（为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法） 。,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单向拉伸实验测得,断裂条件,2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论）,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大拉应变（线变形）达到极限值导致的。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,断裂条件,即,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于最大切应力达到了某一极限值。,3. 最大切应力理论（第三强度理论）,构件危险点的最大切应力,极限切应力，由单向拉伸实验测得,屈服条件,强度条件,实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于单元体的最大形状改变比能达到一个极限值。,4. 畸变能密度理论（第四强度理论）,构件危险点的形状改变比能,形状改变比能的极限值，由单拉实验测得,屈服条件,强度条件,实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,强度理论的统一表达式：,s r 相当应力,分析薄壁圆筒受内压时的应力状态,薄壁圆筒的横截面面积,（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F,（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象,例5、一蒸汽锅炉承受最大压强为p,圆筒部分的内径为D,厚度为 d,且 d 远小于D.试用第四强度理论校核圆筒部分内壁的强度.已知 p=3.6MPa,d=10mm,D=1m,=160MPa.,内壁的强度校核,所以圆筒内壁的强度合适.,用第四强度理论校核圆筒内壁的强度,（3）试根据第一强度理论，说明梁破坏时裂缝在B、C两点处的走向。,例3： 图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。,（1）从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。,（2）在各点的单元体上，大致地画出主平面的位置和主应力的方向。,例4：已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应力 =30MPa。试校核该点的强度。,解：首先根据材料和应力状态确定破坏形式，选择强度理论。,r1 = max= 1 ,其次确定主应力,脆性断裂，最大拉应力准则,129.28MPa,23.72MPa, 30,结论：强度是安全的。,