2017-2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质学案（含解析）新人教a版选修2-1

124.2抛物线的简单几何性质提出问题问题 1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点问题 2：有人说“抛物线是双曲线的一支” ，这句话对吗？提示：不对问题 3：抛物线 y22 px 有对称性吗？提示：有，关于 x 轴对称导入新知抛物线的简单几何性质类型y22 px(p0)y22 px(p0)x22 py(p0)x22 py(p0)图形范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 O(0,0)离心率 e1性质开口方向向右 向左 向上 向下化解疑难1抛物线只有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，一条准线无对称中心，无渐近线标准方程只有一个参数，不同于椭圆、双曲线2 p 的几何意义：焦点到准线的距离它的大小，影响抛物线开口大小.2抛物线方程及其几何性质例 1已知 A， B 是抛物线 y22 px(p0)上不同的两点， O 为坐标原点，若|OA| OB|，且 AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点 F，求直线 AB 的方程解如图所示设 A(x0， y0)，由题意可知 B(x0， y0)，又 F 是 AOB 的垂心，(p2， 0)则 AF OB， kAF·kOB1，即 · 1，y0x0 p2 ( y0x0) y x0 ，20 (x0p2)又 y 2 px0，20 x02 p .p2 5p2因此直线 AB 的方程为 x .5p2类题通法根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形” ，再“定量”但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论活学活用已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物线交于 A， B 两点，O 为坐标原点，若 OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程解：由题意，可设抛物线方程为 y22 px(p0)，则焦点 F ，直线 l： x ，(p2， 0) p2 A， B 两点坐标分别为 ， ，(p2， p) (p2， p)| AB|2| p|. OAB 的面积为 4， · ·2|p|4，12 p2 p±2 .23抛物线方程为 y2±4 x.2直线与抛物线的位置关系例 2若抛物线 y24 x 与直线 y x4 相交于不同的两点 A， B，求证： OA OB.证明：由Error!消去 y，得 x212 x160.直线 y x4 与抛物线相交于不同两点 A， B，可设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有 x1 x212， x1x216. · x1x2 y1y2OA OB x1x2( x14)( x24) x1x2 x1x24( x1 x2)1616164×12160， ，即 OA OB.OA OB 类题通法将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式 或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解活学活用过点(3,2)的直线与抛物线 y24 x 只有一个公共点，求此直线方程解：显然，直线斜率 k 存在，设其方程为 y2 k(x3)，由Error!消去 x，整理得 ky24 y812 k0.(1)当 k0 时，方程化为4 y80，即 y2，此时过(3,2)的直线方程为y2，满足条件(2)当 k0 时，方程应有两个相等实根由Error! 即Error!得 k 或 k1.13所以直线方程为 y2 (x3)或 y2( x3)，13即 x3 y90 或 x y10.4故所求直线有三条，其方程分别为： y2， x3 y90， x y10.抛物线中的最值问题例 3在抛物线 y22 x 上求一点 P，使 P 到直线 x y30 的距离最短，并求出距离的最小值解法一：设 P(x0， y0)是 y22 x 上任一点，则点 P 到直线 l 的距离d 203|x0 y0 3|2 ，| y0 1 2 5|22当 y01 时， dmin ，524 P .(12， 1)法二：设与抛物线相切且与直线 x y30 平行的直线方程为 x y m0，由Error!得 y22 y2 m0， (2) 24×2 m0， m .12平行直线的方程为 x y 0，12此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则 dmin132 ，此时点524P 的坐标为 .(12， 1)类题通法解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法活学活用5点 P 在抛物线 2y2 x 上，点 Q 在圆( x2) 2 y21 上，求| PQ|的最小值解：圆( x2) 2 y21 的圆心为 M(2,0)，设 P(2y ， y1)，21则| PM|2(2 y 2) 2 y 4 y 7 y 421 21 41 214 2 ，(y2178) 1516 1516| PM| ，154| PQ|min| PM|min1 1.1544.探 究 抛 物 线 中 焦 点 弦 问 题典例已知 AB 是抛物线 y22 px(p0)的焦点弦，且 A(x1， y1)， B(x2， y2)，点 F是抛物线的焦点求证：(1)y1y2 p2， x1x2 ；p24(2)|AB| x1 x2 p.证明(1)过焦点 F 的直线 AB 的方程为 y k 或 x .(p2， 0) (x p2) p2当直线 AB 的方程为 y kx 时，p2由Error! 消去 x，得 ky22 py kp20. AB 与抛物线有两个交点， k0.由根与系数的关系得 y1y2 p2.又 y 2 px1， y 2 px2，21 2 x1x2 · .y212p y22p y1y2 24p2 p24当直线 AB 的方程为 x 时， x1x2 ， y1 p， y2 p，p2 p24 y1y2 p2.(2)由抛物线的焦半径可知：6|AF| x1 ，| BF| x2 ，p2 p2| AB| AF| BF| x1 x2 p.多维探究解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用解题时注意整体代入思想的运用，简化运算1若本例中， AB 是经过焦点且倾斜角为 的直线 l 被抛物线所截得的弦，其弦长为 46，求抛物线方程解：直线 l 的方程可写为 y x .p2因| AB| AF| BF| x1 x2 p6， x1 x26 p.由Error! 消去 y，得 22 px，(xp2)即 x23 px 0.p24 x1 x23 p，代入式，得 3p6 p， p .32抛物线的标准方程是 y23 x.2在本例条件下，试求 的值1|AF| 1|BF|解：设直线 AB： y k 或 x .(xp2) p2当直线 AB 的方程为 y k 时，(xp2)由Error!消去 y，得 k2x2 p(k22) x 0.k2p24 AB 与抛物线有两个交点， k0. x1 x2 ， x1x2 .p k2 2k2 p247又| AF| x1 ，| BF| x2 ，p2 p2| AF| BF| x1 x2 p.|AF|·|BF| (x1p2)(x2 p2) x1x2 (x1 x2)p2 p24 (x1 x2)p2 p22 (x1 x2 p)p2 (|AF| BF|)，p2即| AF| BF| ·|AF|·|BF|，2p .1|AF| 1|BF| 2p当直线 AB 的方程为 x 时，p2x1 x2 ，p2y1 p， y2 p.| AF| BF| p. .1|AF| 1|BF| 2p3在本例条件下，若 M 是 AB 的中点，过点 A， B， M 向抛物线的准线 l 作垂线，垂足分别为 A1， B1， M1.试证：(1)以 AB 为直径的圆与准线 l 相切；(2) AM1B90°；(3) A1FB190°.证明：如图(1)| MM1| (|AA1| BB1|)128 (|AF| BF|) |AB|.12 12以 AB 为直径的圆与准线 l 相切(2)由(1)知，以 AB 为直径的圆与准线 l 相切于点 M1，则 AM1B90°.(3)如图：| AA1| AF|，| BB1| BF|， AA1F AFA1， BB1F BFB1.又 AA1 x 轴， BB1 x 轴， AA1F A1FO， BB1F B1FO. AFA1 A1FO， BFB1 B1FO. A1FO B1FO90°，即 A1FB190°.随堂即时演练1设抛物线的焦点到顶点的距离为 3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A(6，) B6，)C(3，) D3，)解析：选 D抛物线的焦点到顶点的距离为 3， 3，即 p6.p2又抛物线上的点到准线的距离的最小值为 ，p2抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3，)2直线 y kx2 交抛物线 y28 x 于 A， B 两点，若 AB 中点的横坐标为 2，则 k 等于()A2 或1 B1C2 D3解析：选 C由Error!得 k2x2(4 k8) x40.由 (4 k8) 216 k20，得 k1.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，9则 x1 x2 4，4k 8k2解得 k2 或 k1(舍去)3过抛物线 y24 x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，若x1 x26，则| AB|_.解析：| AB| x1 x2 p628.答案：84线段 AB 是抛物线 y2 x 的一条焦点弦，且| AB|4，则线段 AB 的中点 C 到直线x 0 的距离为_12解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由于| AB| x1 x2 p4， x1 x24 ，12 72中点 C(x0， y0)到直线 x 0 的距离为 x0 .12 12 x1 x22 12 74 12 94答案：945已知抛物线 y24 x 截直线 y2 x m 所得弦长| AB|3 ，求 m 的值5解：由Error! 得 4x24( m1) x m20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则由根与系数的关系得 x1 x21 m， x1·x2 ，m24| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 22 1 m 2 4·m24 .5