成人高考数学第6部分—立体几何

成人高考 § 平面的基本性质 平 面 平面的概念 ： 平面的画法 ： 平面是 无限伸展 的 平坦 的图形 . 通常用 平行四边形 来表示平面 . 如：平面 平面 面 面的表示法 ： 注：当平面是水平放置的时候，通常把平行 四边形的锐角画成 45°， 横边画成等于邻 边的两倍 . 相交平面的画法 画相交平面时， 虚线实线 要清楚 . 当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画 . 平 面 点、线、面的位置关系（集合语言表示法） 点 点 在直线 A B l点 A 在平面 内， 在平面 外， 内 l表示为： l l直线 外 表示为： l 表示为： A l 直线 相交 A a与 b 相交于点 A 表示为： 平面的基本性质 如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直线上 所有的点 都在这个平面内 公理 1 A B (作用：证明直线在平面内 ) l ,A B l 公理 2 如果两个不重合的平面有 一个 公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是 过该点的一条直线 P l P l 且(作用：证明两个平面相交 ) 经过 不在同一条直线上 的三点，有且只有一个平面 . , , , ,A B C A B C三 点 不 共 线 三 点 确 定 一 平 面公理 3 A C B (作用：确定平面 ) 经过一条直线和这条 直线外 的一点，有且只有 一个平面 . 推论 1 A (作用：确定平面 ) l 经过两条 相交 直线 有且只有 一个平面 . 推论 2 (作用：确定平面 ) 经过两条 平行 直线 有且只有 一个平面 . 推论 3 (作用：确定平面 ) 应用 例 1 证明：两两相交且不过同一个点的三条直线共面 . 证明：设直线 点分别为 B、 C、 A， 如图所示： A B C 相交直线 . 于是点 都在平面 内， 从而直线 内 . 因此直线 练习 （ 1）每个平面都有确定的面积 . （ 2）经过一点和一条直线有且只有一个平面 . （ 3）若线段 内，则直线 内 . （ 4）若平面 与 有三个不共线的公共点，则这两个平面一定重合 . （ 5）三点确定一个平面 . （ 6）四边形一定是平面图形 . （ 7）平面 与 相交于不同在一条直线上的三个 A、 B、C. § 直线和直线的位置关系 在正方体 出下列各对线段的位置关系 A B C D 1 1 （ 1） D； （ 2） C： （ 3） 1 平行 相交 既不相交又不平行 对于（ 3）这类直线关系，给出下面的定义： 定义 1 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面 直线。 问题一：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？ ？ （ 4）异面直线 不同在 任何 一个平面内，没有公共点 空间两条直线的位置关系： （ 2）相交直线 有且仅有一个公共点 （ 3）平行直线 在同一个平面内，没有公共点 （ 1）重合 有两个 (从而有无穷多个 )公共点 相交 平行 m l 有且只有一个公共点 没有公共点 在同一平面 异面直线 m P l 没有公共点 不同在任一平面 P m l 命题 平面内一点与平面外一点的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线。 A B 1后可以利用此结论来判断异面直线。 问题二： 在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？ ？ 例 2：在正方体 线 1 什么位置关系？为什么？ 解 B C D 1 ） 2） 且 |= | 故 ：在上例中， 1 定理 平行于同一条直线的两条不重合的直线互相平行。 一、判断对错： （ ） （ ） 它们平行。 （ ） 它们是异面直线 .（ ） 内，而直线 内，则直线 a和 ( ). 练习 § 直线和平面的位置关系 直线和平面的位置关系 1. 直线与平面相交 一条直线和一个平面有且只有 一个公共点 . 表示为 : 2. 直线与平面平行 一条直线与一个平面没有公共 点 . A a 表示为 : /aa 3. 直线在平面内 一直线和平面有两个或两个以上 的公共点 . 表示为 : a a 三、直线和平面平行的判定 直线 和平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行 ,那么这条直线和这个平面平行。 l m 直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 ,l b /,l § 平面和平面的位置关系 空间中两平面的位置关系 位置关系 公共点 符号语言描述 图形语言描述 两个平面相交 两个平面平行 a /无数个 ,组成一 条直线 无公共点 两个平面重合 无数个 画两个平行的平面 对应边平行 对应边不平行 O 两个平面相交的画法 : 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 (线面平行 面面平行 ) 两个平面平行的判定定理 ： b a P 命题 1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直 线一定都和另一个平面平行 命题 2如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行， 那么这两个平面平行 小组讨论： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行 . 两个平面平行的性质定理 （面面平行，则线线平行） 求证 : 夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等 . A ， A 、 上两点， B、 上两点，且 因为 以 与平面 、 分别相交于直线 A C， 得 A C 因此四边形 所以 | a b 平行四边形法则 a 三角形法则 a b 三角形法则 a k>0） k<0） 加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： (a b) a b 若干向量之和 ) 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即： 1433221 1 空间向量： 空间中具有 大小 和 方向 的量叫做向量 定义： 表示方法： 空间向量的表示方法和平面向量一样； 空间任意两个向量都可以用 同一 平面 内的两条有向线段表示 同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量； 零向量 :长度为零的向量 ,记作 0,它的方向不确定 . 单位向量 :长度为 1的向量叫做单位向量 . 负向量 (或反向量 ) :与非零向量 叫做负向量 (或反向量 )记作 的负向量规定为 0。 共线向量 ： 一组向量如果用同一起点的有向线段表示后 ,这些有向线段在同一条直线上，则称这组向量是共线的；否则称为不共线。 共面 ： 一组向量如果用同一起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一个平面内，则称这组向量是共面的 C D A B a + b a a a OP a () a b A B b C O a - b 加法交换律： a + b = b + a； 加法结合律： (a + b) + c =a + (b + c)； 数乘分配律： (a + b) =a +b ； a b c a b c 对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明 (1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广因此在空间向量的运算中仍可使用去括号、合并同类项、移项等法则。 (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 (3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加 推广 (空间 若干向量之和 ) 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即： 1433221 1 空间向量 与非零向量 共线的充分必要条件是： 存在唯一的实数 使得 b 空间中一个点和一个非零向量确定