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4动量和角动量习题思考题

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4动量和角动量习题思考题

习题 44-1如图所示的圆锥摆,绳长为 l,绳子一端固定,另一端系一质量为 m 的质点,以匀角速 绕铅直线作圆周运动,绳子与铅直线的夹角为 。在质点旋转一周的过程中,试求:(1)质点所受合外力的冲量 ;Iv(2)质点所受张力 T 的冲量 。T解:(1)设周期为 ,因质点转动一周的过程中,速度没有变化, ,由 ,12vImv旋转一周的冲量 ;0I(2)如图该质点受的外力有重力和拉力,且 ,张力 T 旋转一周的冲量:cosTmgIjjv所以拉力产生的冲量为 ,方向竖直向上。2g4-2一物体在多个外力作用下作匀速直线运动,速度 。已知其中一4/vms力 方向恒与运动方向一致,大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆,如图。Fv求:(1)力 在 1s 到 3s 间所做的功;(2)其他力在 1s 到 3s 间所做的功。解:(1)由于椭圆面积为 ,Sab椭 4025.6AabJ(2)由动能定理可知,当物体速度不变时,外力做的总功为零,所以当该 做的功为 125.6J 时,其他的力Fv的功为 125.6J。4-3质量为 的质点在 平面内运动,运动学方程为mOxy,求:cosinratbtjv(1)质点在任一时刻的动量;(2)从 到 的时间内质点受到的冲量。0/2解:(1)根据动量的定义: ,而 ,PmvdrtsincosatbtjvvologT()FN201O23()ts ;()(sincos)Ptmatbtjvv(2)由 ,2)(00IPmbjv所以冲量为零。4-4质量为 M=2.0kg 的物体(不考虑体积) ,用一根长为 l=1.0m 的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为 m=20g 的子弹以 =600m/s 的水平速度射穿物体。刚0v射出物体时子弹的速度大小 =30m/s,设穿透时间极短。求:v(1)子弹刚穿出时绳中张力的大小;(2)子弹在穿透过程中所受的冲量。解:(1)解:由碰撞过程动量守恒可得: 01vmMv 015.7vM/s根据圆周运动的规律: ,有:21Tgl;2184.6vTgNl(2)根据冲量定理可得: 。0.5701.4ImvNs4-5一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子,巳知电子的动量为 ,中微子的动量为 ,两动量方向彼/skg10.2 236.4kgm/此垂直。 (1)求核反冲动量的大小和方向;(2)已知衰变后原子核的质量为,求其反冲动能。856解:由碰撞时,动量守恒,分析示意图,有:(1) 2221.0641P核 电 子 中 微 子.30/kgms又 , ,.tan中 微 子电 子 08.所以 , ;21.4/s核 o915(2)反冲的动能为: 。28.7kPEJ核 核4-6中子的发现者查德威克于 1932 年通过快中子与氢核、氮核的对心弹性碰撞P中 微 子 电 子核发现氢核的反冲速度为 ,氮核的反冲速度为 ,已知73.10/ms64.710/ms氢核的质量为 ,氮核的质量为 ,试推算中子的质量及其初速度。1u4u解:设快中子的质量为 ,氢核的质量为 ,氮核的质量为 ,MHN根据弹性碰撞的规律,可得: ,0Nvv,2220HNvm代入已知量,可得: 77703.16.5809.810uu214440.8992u那么, ,7736./.vms。7.140M4-7一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 ,子弹5401()3FtN从枪口射出时的速率为 。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求:3/ms(1)子弹走完枪筒全长所用的时间 ;t(2)子弹在枪筒中所受力的冲量 ;I(3)子弹的质量。解:(1)由于离开枪口处合力刚好为零,有: ,540103t得: ;30ts(2)由冲量定义: 有:0tIFd0.35520.341(41)6ItttNs( )(3)再由 ,有: 。 Imv.6/3kg4-8有质量为 的弹丸,从地面斜抛出去,它的落地点为 。如果它在飞行2 cx到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落,另一碎片水平抛出,它们同时落地。问第二块碎片落在何处。解:利用质心运动定理,在爆炸的前后,质心始终只受重力的作用,因此,质心的轨迹为一抛物线,它的落地点为 。cx,而 , ,12cmx12m12cx 。3,4ccx4-9两个质量分别为 和 的木块 ,用一劲度系数为 的轻弹簧连接,12BA、k放在光滑的水平面上。 紧靠墙。今用力推 块,使弹簧压缩 然后释放。0x(已知 , )求:(1)释放后 两滑块速度相等时的瞬时m132 、速度的大小;(2)弹簧的最大伸长量。解:分析题意,首先在弹簧由压缩状态回到原长时,是弹簧的弹性势能转换为B 木块的动能,然后 B 带动 A 一起运动,此时动量守恒,两者具有相同的速度 v 时,弹簧伸长最大,由机械能守恒可算出其量值。(1) 22001vkxmv( )所以: ;2001234m(2) 2102 vkxv)(那么计算可得: 04-10二质量相同的小球,一个静止,一个以速度 与另一个小球作对心碰撞,0v求碰撞后两球的速度。 (1)假设碰撞是完全非弹性的;(2)假设碰撞是完全弹性的;(3)假设碰撞的恢复系数 。5.0e解:(1)完全非弹性碰撞具有共同的速度: , ;m2001v(2)完全弹性碰撞动量守恒,能量守恒:两球交换速度;0122mvvm120v(3)假设碰撞的恢复系数 ,按定义: ,5.e210vec/2cxyOo有: ,再利用 ,210.5v210mvv可求得: , 。0142434-11如图,光滑斜面与水平面的夹角为 ,轻质弹簧上端固定今在弹o0簧的另一端轻轻地挂上质量为 的木块,木块沿斜面从静止开始向下1.Mkg滑动当木块向下滑 时,恰好有一质量 的子弹,沿水平30xcm.1mkg方向以速度 射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为2/vs。求子弹打入木块后它们的共同速度。5/kN解:由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度,碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒,可得:21sinvkxg(碰撞前木快的速度 )0.83/m再由沿斜面方向动量守恒定律,可得:。1cosMMv( ) 0.89/ms4-12 水平路面上有一质量 的无动力小车以匀速率 运动。15kg02/vs小车由不可伸长的轻绳与另一质量为 的车厢连接,车厢前端有一质2量为 的物体,物体与车厢间摩擦系数为 。开始时车厢静止,320mkg .绳未拉紧。求:(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时,物体相对车厢的位移;(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需时间。(车与路面间摩擦不计,取 g =10m/s2) 解:(1)由三者碰撞,动量守恒,可得:,vvm)( 3210 .0s再将 与 看成一个系统,由动量守恒有:,)(2101 smv3125021对 ,由功能原理有:32231123()mgsvmv( );mg601232 )(2)由 ,有: 。tv3 svt.2.4-13一质量为 千克的木块,系在一固定于墙壁的弹簧的末端,静止在光滑M水平面上,弹簧的劲度系数为 。一质量为 的子弹射入木块后,弹簧长度被k压缩了 。(1)求子弹的速度;(2)若子弹射入木块的深度为 ,求子弹所受的平L s均阻力。 解:分析,碰撞过程中子弹和木块动量守恒,碰撞结束后机械能守恒条件。(1)相碰后,压缩前: ,vmv)(0压缩了 时,有:,2212kLvMm)(计算得到: ,)( M0;'vkm( )(2)设子弹射入木快所受的阻力为 ,阻力做功使子弹动能减小,木块动能增f加。 2222011Lfsvv- MkLm4-14质量为 、长为 的船浮在静止的水面上,船上有一质量为 的人,开l m始时人与船也相对静止,然后人以相对于船的速度 从船尾走到船头,当人走到u船头后人就站在船头上,经长时间后,人与船又都静止下来了。设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比,即 。求在整个过程中船的fkv位移 。x分析:将题中过程分三段讨论。(1)设船相对于静水的速度为 ,而人以相对于船的速度为 ,则人相对于()vt u静水的速度为 ,开始时人和船作为一个系统动量之和为零。由于水对船()uvt有阻力,当人从船尾走到船头时,系统动量之和等于阻力对船的冲量,有:,此时, 方向 方向相反,船有与人行进方向相1I()Mtm()vtu反的位移 ;1x(2)当人走到船头突然停下来,人和船在停下来前后动量守恒,有:, 为人停下来时船和人具有的共同速度,()()'vtuvt'方向应于原 方向相同;'(3)人就站在船头上,经长时间后,人与船又都静止下来,表明最后人和船作为一个系统动量之和又为零,则这个过程水阻力对船的冲量耗散了系统的动量,有:,船有与人行进方向相同的位移 。2()'IMmv2x综上,系统在(1)和(3)两过程中动量的变化相同,水的阻力在(1)和(3)两过程中给系统的冲量也是相同的。解: ,利用 ,而: ,2I0tIFdvfkv有: ,得: ,120()(')t tkvdk 1200'ttd即: 。x4-15以初速度 0 将质量为 m 的质点以倾角 从坐标原点处抛出。设质点在Oxy 平面内运动,不计空气阻力,以坐标原点为参考点,计算任一时刻:(1)作用在质点上的力矩 ;Mv(2)质点的角动量 。L解:(1) 0cosrFgtkv(2) 20t vd4-16人造地球卫星近地点离地心 r1=2R, (R 为地球半径) ,远地点离地心r2=4R。求:(1)卫星在近地点及远地点处的速率 和 (用地球半径 R 以及地球表面附近v2的重力加速度 g 来表示) ;(2)卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径 。解:(1)利用角动量守恒: ,得 ,12rm12v同时利用卫星的机械能守恒,这里,万有引力势能表达式为: ,0PMmEGrxy0vOz所以: ,RMmGvRmv4212100考虑到: ,有: , ;gMG31g62v(2)利用万有引力提供向心力,有:,20v可得到: 。R384-17火箭以第二宇宙速度 沿地球表面切向飞出,如图所示。在飞2vg离地球过程中,火箭发动机停止工作,不计空气阻力,求火箭在距地心 4R 的 A处的速度。解:第二宇宙速度时 ,由机械能守恒:0E2104AMmvGRg再由动量守恒: ,2sinAv代入: 。2v03思考题 44-1一 粒子初时沿 轴负向以速度 运动,后被位于坐标原点的金核所散射,xv使其沿与 轴成 的方向运动(速度大小不变) 试用矢量在图上表出 粒子xo12 所受到的冲量 的大小和方向。I解:由:,21Imv考虑到 ,见右图示。4-2试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。解:可用动量定理来解释。设风沿与航向成 角的方向从右前方吹来,以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象, 表示这块空气的质量, 和 分别表示它m1v2O4Rv1mv2vI风 风'f/''fv吹向帆面和离开帆面时的速度,由于帆面比较光滑,风速大小基本不变,但是由于 的速度方向改变了,所m以一定是受到帆的作用力,根据牛顿第三定律, 必然m对帆有一个反作用力 ,此力的方向偏向船前进的方向,将 分解为两个分f f量,垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡,与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。4-3两个有相互作用的质点 和 ( ) ,已知在不受外力时它们的1m21总动量为零, 的轨迹

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