2质点运动定律习题思考题

1习题 22-1 质量为 16kg 的质点在 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为xOy， ，当 时， ， ， 。当6Nxf7yf0t0m/sxv0yv时，求：2st(1) 质点的位矢；(2) 质点的速度。解：由 ，有： ，xfamxa263/18s27/16yfasm（1） ，20 5/4xxvdt。7/168yyas于是质点在 时的速度：2s7/vij（2） 220()xyrvtiat137(4)()42816ijvv137m48ij2-2 摩托快艇以速率 v0 行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为F= -kv2(k 为正值常量 )。设摩托快艇的质量为 m，当摩托快艇发动机关闭后，求：(1) 求速率 v 随时间 t 的变化规律；(2) 求路程 x 随时间 t 的变化规律；(3) 证明速度 v 与路程 x 之间的关系为 ，其中 。x0ekvk/解：（1）由牛顿运动定律 得： ，分离变量有Fma2dvt2，2kdvtm两边积分得：速率随时间变化的规律为 ；01ktvm（2）由位移和速度的积分关系： ，txd积分有： 000111ln()lnt kkxdttmvvv路程随时间变化的规律为： ；0l()xtm（3）由 ， ， 2dvktkdv0xvkd积分有： 。x0ke2-3质量为 的子弹以速度 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，m0v大小与速度成正比，比例系数为 ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，k速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为： fkv又由牛顿第二定律可得： ，则dvftdmt分离变量，可得： ，两边同时积分，有： ，vkm0tvd所以：tkev0（2）子弹进入沙土的最大深度也就是 的时候子弹的位移，则：0v考虑到 ， ，可推出： ，而这个式子两边积分就dxttdvtmdxvk3可以得到位移： 。0max0vdk2-4一条质量分布均匀的绳子，质量为 、长度为 ，ML一端拴在竖直转轴 OO上，并以恒定角速度 在水平面上旋转设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为 r 处绳中的张力 T( r)解：在绳子 上距离转轴为 r 处取一小段微元绳子，假设L其质量为 dm，可知： ，因为它做的是圆周dmL运动，所以微元绳的所受合力提供向心力： 。LMdrrmdT22）（距转轴为 r 处绳中的张力 T( r)将提供的是 r 以外的绳子转动的向心力，所以两边积分： 。）（）（）（ 22LMdTLr 2-5已知一质量为 的质点在 轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，mx引力大小与质点离原点的距离 的平方成反比，即 ， 是比例常2/xkf数设质点在 时的速度为零，求质点在 处的速度的大小。Ax 4Ax解：由题意： ，再由牛顿第二定律可得： ，2kf2dvmt考虑到 ， ，可推出：dvtxtdxvt kvdx两边同时取积分，则： /4201Amk有： Akv62-6一质量为 的质点，在 平面上运动，受到外力 (SI)的g2xy 24Fitjv作用， 时，它的初速度为 (SI)，求 时质点的速度及受0t 034vijst1到的法向力 。nF解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。由： ，有： ，两边积分有：dvmt24ditjt4， ，0 21(4)vtditjdv3024vtij考虑到 ， ，有3s115由于在自然坐标系中， ，而 （ 时） ，表明在 时，切teist1st1向速度方向就是 方向，所以，此时法向的力是 方向的，则利用i j，将 代入有 ，24Fitjvst424tnFievv 。nN2-7如图，用质量为 的板车运载一质量为1m的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为 ，车与2m路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力 为多F少才能保证木箱不致滑动？ 解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。即： max2122fgFa可得： ()g解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为 ，列式有：axFmax21g联立得： ，ax12()Fmg有： 。2-8如图所示一倾角为 的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为 。)(tg为使木块相对斜面静止，求斜面加速度 的范a围。解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图 a） ，列式为：5sincosNmg1a可计算得到：此时的 tn（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图 b） ，列式为：sincosg2Nma可计算得到：此时的 ，所以：tn1g。tant1ag解法二：考虑物体 m 放在与斜面固连的非惯性系中，将物体 m 受力沿 和 方向分解，如图示，同时'x'y考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：方向：'xsincos0gaf方向：yinN考虑到 ，有： ，fcs(cosin)0mga解得： 。itcosi1aag 的取值范围： 。tannt2-9 密度为 1 的液体，上方悬一长为 l，密度为 2 的均质细棒AB，棒的 B 端刚好和液面接触。今剪断绳，并设棒只在重力和浮力作用下下沉，求：(1) 棒刚好全部浸入液体时的速度；(2) 若 2<1/2，棒进入液体的最大深度；(3) 棒下落过程中能达到的最大速度。解：（1）由牛顿运动定律 得：GFman 'x'yNmg6，考虑到 ， ，212dvglSxlStvdxttdvt分离变量，有： ，21glxv棒刚好全部浸入液体时，速度为 ，此时 ,vl则两边积分， 2100vlxddl得： ， 。212glv21()glv（2）由 来看，棒可以全部浸入液体的条件为 ，12()l 210即： ，假若有条件 ，则棒不能全部浸入液体；1212若 ，设棒进入液体的最大深度为 ，由积分h2100vhglxdd可得： ，考虑到棒在最大深度时速度为零，有：2211vl。21lh（3）由牛顿运动定律 知，当 时， ，速度最大（设为GFmanGFn0a7）mv有： ，即 ，21glSx21l由积分 ，有：21002mlvgxddl， 。2211()mlgl 21mglv2-10圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度 匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？解：取容器内稳定旋转液面某处一小块液体微元 ， 受重力 和支持mgv力 的作用，考虑 剖面，受力分析如图示。列式： Nvyoz 2sinNy， csmg/有： ，又由导数tag几何意义，有： ndzy ，积分有： 2zgCyz2当 时 所以 0y0z0C，表明 剖面上，形成液面的抛物线；2gzyo同理，在 剖面上，可得： ，稳定旋转时液面是一个抛物xoz20zxzg面，综上，在立体的三维坐标 上，抛物面的方程为：y8。220()zxyzg2-11质量为 的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，2m劈形物质量为 ，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为 ，1 求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。解：利用隔离体方法，设方形物 相对于劈形物21m沿斜面下滑的加速度为 ，劈形物 水平向左的加2'a1速度为 ，分析受力有：1a方形物 受力： ， ， （惯性力） ；2m2gv1N2劈形物 受力： ， ， ，如图；1对于 ，有沿斜面平行和垂直的方程为：222cosin'ama1cosNg对于 ，有：1sin将代入有： ，122sincosiag ，代入，有：212cosnmag12()in'mag再将 在水平和竖直两方向上分解，有：'122()si'x221in'sy yagam 122cos'ixx而相互作用力： 1sinNgm21sn2-12一小环套在光滑细杆上，细杆以211N22mg2a11mgo2NrZO9倾角 绕竖直轴作匀角速度转动，角速度为 ，求：小环平衡时距杆端点 的O距离 。r解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕Z 轴的圆周运动，所以可列式：mgNsinsinco2r所以，可得： 。ta2-13设质量为 的带电微粒受到沿 方向的电力 ，计算粒子在x()Fbcxiv任一时刻 的速度和位置，假定 时， ， 。其中 ， 为与时间t 0t0无关的常数， ， ， ， 的单位分别为 ， ， ， 。mFxkgNms解：根据题意和牛顿第二定律，可列式： ， ，()cxi2dt整理可得二阶微分方程： ，20dcbxt下面分 c 为正负做讨论：令 m2（1）当 时，令 ，方程为： ，0c20dbxtm可以写成：222()()0bdxbxt【考虑到高等数学中，对于 ，其通解为： 】2dycos()yAx可得： ，即：2cos()bxAtms()xtc再对上式求一次导，得到： ，sin()vAtdt由初始条件： 时， ， ，可知： ， ，0t0xbc0有 ， ；cosbxtsinbvtc10（2）当 时，令 ，方程为： ，0c2cm20dxbtm可以写成：222()()0bdxbt【考虑到高等数学中，对于 ，其通解为： 】2dyx12xxyCe可得： ，即：12ttbxCem12ttc再对上式求一次导，得到： ，12ttvCedt由初始条件： 时， ， ，可知： ，0t0x1bc有 ， ；()2ttbxec()2ttbvec2-14在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为 ，一R小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为 ，在 时，球的速0t率为 ，求任一时刻球的速率和运动路程。0v解：利用自然坐标系，法向： ，而：2vNmfN切向： ，则：dtvftR，得：0201vtR tv00ln(1)ttSt2-15 设飞机降落时的着地速度大小 ，方向与地面平行，飞机与地面间的摩0v擦系数 ，如果飞机受到的迎面空气阻力与速率平方成正比为 Kx v2，升力为 Ky v2 (Kx 和 Ky 均为常量) ，已知飞机的升11阻比为 ，求从着地到停止这段时间所滑行的距离（设飞机刚着地时对地yxKC面无压力） 。解：（1）由牛顿运动定律 ，考虑到飞机刚着地时对地面无压力，有：Fma20xvmg则 ，又 ，2200()xxxyKvdKvgtvdxvtt有： ，即：222001(1)dCgv22200()Cgdx积分有： 002 22200ln()()vvdxgCg路程为： 。20ln()C思考题2-1质量为 m 的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示设木板和墙壁之间的夹角为 ，当 逐渐增大时，小球对木板的压力将怎样变化？解：以小球为研究对象，设墙壁对小球的压力为 N1，方向水平向右，木板对小球的压力为 N2，方向垂直于木板，小球受重力为 mg，建立平衡方程：，gNsin212cos所以当 增大，小球对木板的压力 N2 将减小；小球对墙壁的压力 也减小。2-2质量分别为 m1和 m2的两滑块