高等教育自学考试线性代数历年试题

全国 2011 年 4 月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：A T 表示矩阵 A 的转置矩阵， A*表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式。一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.下列等式中，正确的是（）A. B. 20102123694545C. D.1502 0120332.设矩阵 A= ，那么矩阵 A 的列向量组的秩为（）034A.3 B.2C.1 D.03.设向量 =（-1，4） ， =（1，-2 ） ， =（3，-8 ） ，若有常数 a,b 使 a -b - =0,则（）12123A.a=-1,b=-2 B.a=-1,b=2C.a=1,b=-2 D.a=1,b=24.向量组 =（1，2，0） ， =（2，4，0） ， =（3，6，0） ， =（4，9，0）的极大线性无关组为（）A. ， B. ，14 13C. ， D. ，2 25.下列矩阵中，是初等矩阵的为（）A. B. 10 02C. D.180 1086.设 A、B 均为 n 阶可逆矩阵，且 C= ，则 C-1 是（）0BAA. B.10 10C. D.10AB 1A0B7.设 A 为 3 阶矩阵，A 的秩 r(A)=3，则矩阵 A*的秩 r(A*)=（）A.0 B.1C.2 D.38.设 =3 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于（） 14A. B.43 3C. D.9.设矩阵 A= ，则 A 的对应于特征值 =0 的特征向量为（）1023A.（0，0，0） T B.（0，2，-1） TC.（1，0，-1） T D.（0，1，1） T10.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A. B.23 36C. D.01 10二、填空题（本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式 =_.1234912.设矩阵 A= ，B =（1，2，3） ，则 BA= _.12313.行列式 中第 4 行各元素的代数余子式之和为_.0153214.设 A，B 为 n 阶方阵，且 AB=E，A -1B=B-1A=E，则 A2+B2=_.15.设向量 =（1，2，3，4） ，则 的单位化向量为_.16.设 3 阶方阵 A 的行列式|A|= ，则| A3|=_.1217.已知 3 维向量 =（1，-3 ，3） ， =（1，0，-1）则 +3 =_.18.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0，且 A 的秩为 n-1，则齐次线性方程组 Ax=0 的通解为_.19.设 1，2，n 是 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值，则矩阵 A 的行列式| A|=_.20.二次型 f(x1,x2,x3)=x1x2+x1x3+x2x3 的秩为_.三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21.已知矩阵 A= ，B = ，01021求：（1）A TB；（2）| A TB |.22.设 A= ，B = ，C= ，且满足 AXB=C，求矩阵 X.3142153320123.求向量组 =(1,2,1,0)T， =（1,1,1,2） T， =（3,4,3,4） T， =（4,5,6,4） T 的秩与一个极大线性无关组.123424.判断线性方程组 是否有解，有解时求出它的解.1342xx1525.设向量 =（1，1，0） T， =（-1，0，1） T，2（1）用施密特正交化方法将 ， 化为正交的 ， ；112（2）求 ，使 ， ， 两两正交.312326.已知二次型 f= ，经正交变换 x=Py 化成了标准形 f= ，求所用的正交矩阵 P.13xx 21y四、证明题（本大题共 6 分）27.设 A 为 5 阶反对称矩阵，证明 |A|=0.全国 2011 年 1 月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：本卷中，A T 表示矩阵 A 转置，det(A )表示方阵 A 的行列式，A -1 表示方阵 A 的逆矩阵，( ， )表示向量 ，的内积，E 表示单位矩阵一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设 A 是 4 阶方阵，且 det(A)=4，则 det(4A)=( )A4 4 B4 5C4 6 D4 72已知 A2+A+E=0，则矩阵 A-1=( )AA+E BA -EC-A-E D- A+E3设矩阵 A，B，C ，X 为同阶方阵，且 A，B 可逆，AXB=C，则矩阵 X=( )AA -1CB-1 BCA -1B-1CB -1A-1C DCB -1A-14设 A 是 s×n 矩阵(sn)，则以下关于矩阵 A 的叙述正确的是 ( )AA TA 是 s×s 对称矩阵 BA TA=AATC(A TA)T =AAT DAA T 是 s×s 对称矩阵5设 1， 2， 3， 4， 5 是四维向量，则( )A l， 2， 3， 4， 5 一定线性无关B l， 2， 3， 4， 5 一定线性相关C 5 一定可以由 1， 2， 3， 4 线性表出D 1 一定可以由 2， 3， 4， 5 线性表出6设 A 是 n 阶方阵，若对任意的 n 维向量 X 均满足 AX=0，则( )AA=0 BA =EC秩(A)=n D04二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11行列式 的值为_.21012已知 A= ，则|A| 中第一行第二列元素的代数余子式为 _.313设 A，B 都是 3 阶矩阵，且|A |=2，B=-2E，则| A-1B|=_.14设矩阵 A= ，P= ，则 AP3=_.4211015已知向量组 1=（1，2，3） ， 2=（3，-1 ，2） ， 3=（2，3，k）线性相关，则数 k=_.16已知 Ax=b 为 4 元线性方程组，r(A)=3. 1， 2， 3 为该方程组的 3 个解，且 1= ， 2+ 3= ，则该4975线性方程组的通解是_.17设 2 是矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 3A 必有一个特征值为 _.18已知 P 是 3 阶正交矩阵，向量 = ， = ，则内积（P ，P ）=_.21019与矩阵 A= 相似的对角矩阵为_.302120二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x1x2+2x1x3 的秩为_.三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21求行列式 D= 的值.01222设矩阵 A= ，B = ，求满足矩阵方程 XA-B=2E 的矩阵 X.1001223设向量组 1=(1,3,0,5)T， 2=(1,2,1,4)T， 3=(1,1,2,3)T， 4=(1,0,3,k)T，确定 k 的值，使向量组 1， 2， 3， 4 的秩为 2，并求该向量组的一个极大线性无关组.24当数 a 为何值时，线性方程组 有无穷多解？并求出其通解.（要求用它的一个特解和导出组的21321ax基础解系表示）25已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 -1，1，2，设 B=A2+2A-E，求（1）矩阵 A 的行列式及 A 的秩.（2）矩阵 B 的特征值及与 B 相似的对角矩阵.26求二次型 f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3 经可逆线性变换 所得的标准形.33212yx四、证明题（本题 6 分）27已知 n 阶矩阵 A，B 满足 A2=A，B 2=B 及(A-B) 2=A+B，证明 AB=0.全国 2010 年 7 月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵 A 的转置矩阵；A *表示 A 的伴随矩阵；R(A)表示矩阵 A 的秩；|A|表示 A 的行列式；E 表示单位矩阵。一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设 3 阶方阵 A= 1， 2， 3，其中 i(i=1,2,3)为 A 的列向量，若|B|=| 1+2 2， 2， 3|=6，则|A|=（ ）A.-12 B.-6C.6 D.122计算行列式 （ ）3200513A.-180 B.-120C.120 D.1803设 A= ，则|2A *|=（ ）421A.-8 B.-4C.4 D.84.设 1， 2， 3， 4 都是 3 维向量，则必有A. 1， 2， 3， 4 线性无关 B. 1， 2， 3， 4 线性相关C. 1 可由 2， 3， 4 线性表示 D. 1 不可由 2， 3， 4 线性表示5若 A 为 6 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中解向量的个数为 2，则 R(A)=（ ）A2 B3C4 D56设 A、B 为同阶矩阵，且 R(A)=R(B)，则（ ）AA 与 B 相似 B|A |=|B|CA 与 B 等价 DA 与 B 合同7设 A 为 3 阶方阵，其特征值分别为 2，l ，0 则|A +2E|=（ ）A0 B2C3 D248若 A、B 相似，则下列说法错误的是（ ）AA 与 B 等价 BA 与 B 合同C|A|=|B| DA 与 B 有相同特征值9若向量 =(1，-2，1)与 = (2，3，t)正交，则 t=（ ）A-2 B0C2 D410设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 2，l ，0，则（ ）AA 正定 BA 半正定CA 负定 DA 半负定二、填空题(本大题共 10 小题 ,每小题 2 分，共 20 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1l.设 A= ,B= ，则 AB=_.4210301212设 A 为 3 阶方阵，且| A|=3，则|3 A-l|=_.13三元方程 x1+x2+x3=0 的结构解是_.14设