中值定理与导数的应用

复习三 中值定理与导数的应用 1 理解罗尔定理和拉格朗日定理 了解柯西定理 2 掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点 3 理解函数的极值概念 掌握用导数求极值的方法 会求解较简单的最大值与最小值的应用问题 例 1 设函数 f(x)x(x1)(x2) 则 f (x)有且只有_个实根 解 f(x)有三个零点 x0 x1 x2 f(x)在0 1和1 2上均满足罗尔定理的条件 所以存在 1(0 1)和 2(1 2) 使 f (1)0 f (2)0 又 f (x)是二次多项式 至多有两个实根 因此 f (x)有且只有 2 个实根 例 2 函数 f(x)=2x39x2+12x+5 的单调减区间是_ 解 f ( x)6x218x126(x23x2)6(x1)(x2) 令 f (x)0 得驻点 x1 x2 当 x1 时 f (x)0 当 1x2 时 f (x)0 当 x2 时 f (x)0 所以 f(x)的单调减区间是(1 2) 例 3 已知点(1 3)是曲线 yax3bx2 的拐点 则(a b) ( _ ) 解 y3a x 22bx y6a x2b 由已知得 即 于是 ，(1)00392例 4 曲线 yln(1x2)在区间_内是凹的 解 由 y0 得1<x<1 故曲线在区间( 1 1)上是凹的 1 2(1)例 5 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌 20m 长的墙壁. 问应围成怎的长方形才能是这间小屋的面积最大?解 设小屋靠着墙壁的边长为 , 则另一条边长为 202x 小屋的面积为xS(x)x(202x)20x2x2 由 S (x)204x0 得到唯一驻点为 x5 因为 S (5)40 所以 x5 为 S 的极大值点 也是最大值点. 当小屋的长为 202510m 宽为 5m 时面积最大. 例 6 证明不等式 其中 0ablnba证 令 f(x)ln x 因为 f(x)在a, b上连续, 在(a, b) 内可导. 根据拉格朗日中值定理 , 存在 (a, b) 使得 f(b)f(a)f ()(ba), 即 lnl又因为 ab , 所以, a即 lnb例 7 证明: 当 x 0 时, 有 e x1+x.证 令 f (x)ex1x 令 f (x)ex10 得唯一驻点 x0 因为 f (0)e010 所以 f(0)为 f(x)的最小值 即当 x0 时 f(x)f(0)0 从而当 x 0 时, 有 e x1+x.练习三一、填空与选择题1 如果函数 f(x)在 a b上连续 _ 则至少存在一点(a b) 使 f(b)f(a)f ()(ba) 2 如果函数 f(x)在a b上 _ _ 且 f(a)f(b) 则至少存在一点 (a b) 使 f ()0 3 函数 f (x)73x3x2x3 在定义域内单调_(增加 减少) 4 曲线 y4xx2 在定义域内的凹向是_( 凹的 凸的) 5 已知 f(x)x3ax2bx 在 x1 处有极值2 则(a b) ( _ ) 6 函数 yx33x 在 x_处取得极大值 7 曲线 yx33x23x5 的拐点是_ 二、应用题1 某厂生产某种产品 x 件所需要的成本为 C(x)5x200 销售后得到的总收入为 R(x)10x001x2 问该厂每批生产多少件产品才能使得利润最大? 2 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋 , 现有存砖只够砌长度为 a 的墙壁. 问应围成怎样的长方形才能是这间小屋的面积最大?3 欲做一个底为正方形 容积为 108m3 的长方体开口容器 怎样做法所用的材料最省？4 做一个体积为 8的圆柱形容器 已知其两个端面的材料价格为每单位面积 2 元 侧面材料价格为每单位面积 4 元 问底面直径与高的比例为多少时 造价最省？5 欲建一座底面是正方形的平项仓库 使容积为 1500m3 已知屋顶单位面积造价是四壁单位面积造价的 3 倍(地面不处理 ) 求仓库的高和底边长 使总造价最低 三、证明题1 若函数 f(x)在(a, b)内具有二阶导数 , 且 f(x1)f(x2)f(x3), 其中 ax1x2x3b. 证明至少存在一点 (x1, x3), 使得 f ()0.2 设函数 f(x)在a b上连续, 在(a b)内可导, 且 f(a)f(b), 且 f(x)不恒等于常数. 证明至少存在一点 (a b), 使得 f ()0.3 证明方程 x5+x10 只有一个正根.4 证明 当 x1 时，有 e xex.